Matriz semidefinida positiva, complemento de Schur

Question

Dejemos que $\mathbb{R}^{n \times n} \ni C = C^\top \succ 0$ . Dejemos que $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ con $\text{rank}(A) = m$ , donde $m \leq n$ . ¿Cómo puedo demostrar que \begin {Ecuación} C - CA^ \top (ACA^ \top )^{-1}AC \succeq 0 \end {ecuación} ¿se mantiene?

Answer 1

Si $G$ es no singular, tenemos que $X\geq 0$ si y sólo si $G^TXG\geq 0$ . Por lo tanto, $$ X:=C-CA^T(ACA^T)^{-1}AC\geq 0 $$ si y sólo si $C^{-1/2}XC^{-1/2}\geq 0$ ( $G:=C^{-1/2}$ ), es decir, $$ I-B^T(BB^T)^{-1}B\geq 0, $$ donde $B:=AC^{1/2}$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $P:=I-B^T(BB^T)^{-1}B$ es un proyector ortogonal ( $P=P^T$ , $P^2=P$ ) y todos los proyectores ortogonales son semidefinidos positivos: $$x^TPx=x^TP^2x=x^TP^TPx=(Px)^T(Px)\geq 0$$ para cualquier vector $x$ .