Encontrar el máximo y el mínimo relativo de la función $f(x) = 49x + \frac{4}{x}$

Question

Encontrar el máximo y el mínimo relativo de la función $f(x) = 49x + \frac{4}{x}=49x+4x^{-1}$

Solución:

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Paso 1: Encontrar los valores de $x$ donde $f'(x)=0$ y $f'(x)$ DNE.

$f'(x)=49-4x^{-2}=49-\frac{4}{x^2}$

Podemos ver que $f'(x)$ DNE cuando $x=0$ . Ahora vamos a encontrar los valores de $x$ que hacen $f'(x)=0$ .

$f'(x)=49-4x^{-2}=49-\frac{4}{x^2}=0$

$\rightarrow x^2=\frac{4}{49}$

$\rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{4}{49}}$

$\rightarrow x= \pm \frac{2}{7}$

Así, nuestros puntos críticos son $x=0, x= \frac{2}{7}, x= -\frac{2}{7}$

Paso 2: Haz una recta numérica y traza el signo de $f'(x)$ para encontrar donde $f(x)$ aumenta y disminuye.

$f'(-3)= 49-\frac{4}{9}>0$

$f'(\frac{-1}{7})=49-\frac{4}{(\frac{-1}{7})^2}=49-4(49)=-3(49)<0$

$f'(\frac{1}{7})=49-\frac{4}{(\frac{1}{7})^2}=49-4(49)=-3(49)<0$

$f'(3)=49-\frac{4}{3^2} >0$

Así, $f(x)$ aumenta a medida que $x$ aumenta hacia $\frac{-2}{7}$ y luego $f(x)$ disminuye a medida que $x$ aumenta hacia $0$ . Por lo tanto, $x=\frac{-2}{7}$ corresponde a un máximo relativo.

Así, $f(x)$ está disminuyendo $x$ aumenta hacia $\frac{2}{7}$ y luego $f(x)$ se incrementa a medida que $x$ aumenta hacia $\infty$ . Por lo tanto, $x=\frac{2}{7}$ corresponde a un mínimo relativo.

Paso 3: encontrar el correspondiente $y$ valores.

$f(\frac{2}{7})=28$

$f(\frac{-2}{7})=-28$

Por lo tanto, $(\frac{2}{7},28)$ es un mínimo relativo y $(\frac{-2}{7},-28)$ es un máximo relativo.

Puede resultar extraño que nuestro máximo relativo sea más pequeño que nuestro mínimo relativo, pero como son máximos y mínimos "relativos", sólo se están comparando con puntos del gráfico muy cercanos a él, así que no pasa nada.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $f(-x)=-f(x)$ por lo que el problema se reduce esencialmente a $x\ge0$ .

Eso se puede resolver sin necesidad de cálculo: por la Desigualdad AM-GM , $49x+\dfrac4x\ge2\sqrt{49\times4}=28,$

y la igualdad se mantiene cuando $x=\dfrac27$ .

Answer 2

Reescribir como \begin {eqnarray*} 49x+ \frac {4}{x} = \left ( 7 \sqrt {x} - \frac {2}{ \sqrt {x}} \right )^2 +28. \end {eqnarray*} De esto es fácil ver que un mínimo de $28$ se produce en $x=2/7$ .

También \begin {eqnarray*} 49x+ \frac {4}{x} = \left ( 7 \sqrt {x} + \frac {2}{ \sqrt {x}} \right )^2 -28. \end {eqnarray*} igualmente un máximo de $-28$ se produce en $x=-2/7$ .

$0$ no es un punto de inflexión.