Sea R un anillo conmutativo, y sea P un ideal primo de R. Supongamos que P no tiene divisores cero no triviales en él. Demostrar que R es un dominio integral.

Question

Sea R un anillo conmutativo, y sea P un ideal primo de R. Supongamos que P no tiene divisores cero no triviales en él. Demostrar que R es un dominio integral.

Mi prueba:

Toma $r,s,a \in R$ con $ar = as$ y $p \in P$ . Entonces

\begin {align*} par &= pas \\ a p r &= a p s && \text {R es conmutativo} \end {align*} y como $P$ es un ideal de $R$ entonces $pr, ps \in P$ . Desde $P$ es un dominio integral, entonces $a p r = a p s \implies p r = p s$ Así que $r = s$ .

No estoy usando el hecho de que $P$ es un ideal primordial que me lleva a creer que me he equivocado de paso.

Answer 1

Si $ab=0$ , entonces de $0\in P$ obtenemos $a\in P$ o $b\in P$ . Desde $P$ no contiene divisores de cero distintos de cero, obtenemos $a=0$ o $b=0$ .

Answer 2

En su prueba, usted dice que $apr=aps\Rightarrow pr=ps$ "porque $P$ es un dominio integral".

Aunque no me guste el hecho de utilizar dominios sin unidad, por supuesto que se puede hacer. Pero decir que $apr=aps$ implica $pr=ps$ , usted escribe implícitamente $a(pr-ps)=0$ y asumir que $a\not=0$ (que no has escrito pero implícitamente lo supones) y quieres deducir que $pr=ps$ . Esto es cierto en un dominio integral, que es su suposición en $P$ pero el elemento $a$ no pertenece a $P$ . Este es el problema de su prueba.

Para una prueba correcta (y sencilla), véase la respuesta del usuario26857.