límite de esta función

Question

sea la función $ ( \epsilon x +1)^{1/\epsilon}=f(x) $ Sé que en el límite

$ \epsilon \to 0 $ entonces $f(x)=e^{x}$ Sin embargo, me gustaría saber qué pasa si tengo la función

$ ( \epsilon x +a)^{1/\epsilon}=f(x) $ en los casos $ a >1$ , $a<1$

en el primer caso si $a>1 $ y 'x' es positiva la función es $f(x)=\infty$ para el otro caso con $ a<1$ Creo que $ f(x)=0$ pero no estoy seguro.

Answer 1

Tiene razón. Para una constante $a\in \mathbb{R}^+$ tal que $a<1$ tenemos $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} ( \epsilon x +a)^{1/\epsilon} = 0,\forall x\in\mathbb{R}$ porque esto es trivialmente cierto para $x=0$ y cualquier $0\neq x\in \mathbb{R}$ tenemos que $$\epsilon < \frac{1-a}{2|x|}\implies 0 < ( \epsilon x +a)^{1/\epsilon} < ( a + \frac{1-a}{2})^{1/\epsilon}$$ y como $a + \frac{1-a}{2} < 1$ tenemos $\lim_{\epsilon\rightarrow 0}( a + \frac{1-a}{2})^{1/\epsilon} = 0$ por lo que el resultado deseado se desprende del teorema de squeeze, ya que podemos despreciar todas las $\epsilon \geq \frac{1-a}{2|x|}$ cuando tomamos el límite.

Answer 2

Una forma sencilla de hacerlo es ésta. $$ f_a(x) = (\varepsilon x + a)^{1/\varepsilon} = a^{1/\varepsilon} \cdot (\varepsilon(x/a) + 1)^{1/\varepsilon}. $$ Para el caso $a = 1$ , se sabe que el límite existe y ningún factor $a^{1/\varepsilon}$ aparece. Te da $f_1(x) = e^x$ . Ahora bien, esto demuestra que para $a > 0$ , $$ f_a(x) = \left( \lim_{\varepsilon \to 0} \, a^{1/\varepsilon} \right) e^{x/a} = \left( \lim_{y \to \infty} \, a^y \right) e^{x/a}. $$ Dado que el límite en $y$ es bien conocido por ser $0$ si $0 < a < 1$ y $\infty$ si $a > 1$ , tienes el resultado deseado.

Espero que eso ayude,