Encuentra la aceleración de una partícula y su velocidad máxima

Question

Estudio matemáticas como hobby y estoy atascado con este problema:

Una partícula se mueve en una línea recta de manera que después de t segundos su desplazamiento desde un punto fijo es de s metros, donde $s = 4\cos t - \cos2 t$. Si la partícula se detiene por primera vez después de T segundos, donde $T \gt 0$, encuentra (a) su aceleración en el tiempo T, (b) la velocidad máxima que alcanza para $0 \lt t \lt T$

Mi trabajo es el siguiente:

$s = 4\cos t - \cos2t$

Sea V = velocidad y A = aceleración

$V = \frac{ds}{dt} = 2\sin 2t - 4\sin t$

$A = \frac{dV}{dt} = 4\cos 2t - 4\cos t$

V = 0 cuando $2 \sin 2t = 4\sin t$

Ahora, $\sin2 t = 2\sin t\cos t$

Así que V = 0 cuando $4\sin t \cos t = 4 \sin t$

$\cos t = \frac{4\sin t}{4\sin t} = 1$

Cuando sustituyo esto en mi ecuación de aceleración obtengo 0.

El libro dice que las respuestas son (a) 8 m/seg (b) $3\sqrt3 $ m/seg

Answer 1

Como descubriste, cuando $v = 0$, $\sin t \cos t = \sin t$.

Esto es cierto cuando $\sin t = 0 \,$.

Entonces la primera vez que sucede es cuando $t = 0$ ya que $\sin t = 0$. Pero necesitamos encontrar la primera vez que $T$ se detiene para $t \gt 0$.

$\sin t = 0 \,$ cuando $t = \pi$.

Por favor ten en cuenta que cuando $\cos t = 1, $ $\sin t = 0$ pero si te guías por $\cos t = 1$ eso solo sucede en $t = 2\pi \,$ para $t \gt 0$.

Ahora si sustituyes $t = \pi$, obtendrás la aceleración.

También para la velocidad máxima $|v_{max}|$, establece $\frac{dV}{dt} = 0$. Eso te da,

$\cos 2t = \cos t \implies 2cos^2t - \cos t - 1 = 0$

es decir $(2\cos t + 1) (\cos t - 1) = 0$

Eso conduce a solo un punto posible $t = \frac{2 \pi}{3}$ para $0 \lt t \lt T$.

Answer 2

Pista:

$ 4\sin t\cos t = 4\sin t$ implica que $\cos t=1 $ o que $\sin t =0$

El valor más pequeño de $t>0$ que satisface esto es $t=\pi$ en este caso $\cos 2t=1$ y $\cos t = -1$, lo que lleva a $A=8$

Para (b), la máxima velocidad ocurre cuando la aceleración es $0$ y está cambiando de positiva a negativa