El mapa natural $R\mapsto R[t]/(ft-1)$ es inyectiva

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y $f\in R$ tal que $f$ no es un divisor cero (gracias Darij por la corrección). ¿Cómo puedo demostrar rigurosamente que

El mapa canónico $R\mapsto R[t]/(ft-1)$ es inyectiva.

Contexto: Este paso aparece en el truco de Rabinowitch (al demostrar la Nullstellensatz) donde $R=k[x_1, x_2, …, x_n]$ .

Answer 1

Si $\,r\in R\,$ está en el núcleo, entonces $\,r = (1-ft)g(t)\,$ para algunos $\,g\in R[t].\ $ Entonces

$$\begin{eqnarray} n = \deg\, g\quad {\rm and}\quad r &=& (1\!-\!ft)\,g(t) &\Rightarrow&\ g(0) = r\qquad\quad\, {\rm via\ \ coef}\ t^0 \\ \Rightarrow\ (1\!+\!ft\!+\dots+\!(ft)^n)\, r &=& (1\!-\!(ft)^{n+1})\, g(t) &\Rightarrow&\ g(0)\,f^{n+1}\! = 0\quad {\rm via\ \ coef}\ t^{n+1} \\ & & &\Rightarrow&\ \quad r\ f^{n+1} = 0 \end{eqnarray}$$

Por lo tanto, si $\,f\,$ no es un divisor de cero, entonces $\,r = 0\,$ y el mapa es inyectivo.

Nota: $\ $ Se utiliza en el cálculo del núcleo de los mapas de localización. Como I mencionado aquí, esta sencilla prueba parece haber sido omitida por la mayoría de los autores (por ejemplo, Rotmans Álgebra moderna avanzada y todos los demás que he visto dan una prueba como la de la respuesta de egreg).

Answer 2

Un elemento $a$ pertenece al núcleo del morfismo canónico si y sólo si $a=(ft-1)P(t)$ , donde $P(t)\in R[t]$ . Supongamos que $a\ne0$ y $P(t)=r_0+r_1t+\dots+r_nt^n$ existe, con $r_n\ne0$ . Entonces $$ (ft-1)P(t)= -r_0+(fr_0-r_1)t+(fr_1-r_2)t^2+\dots+(fr_{n-1}-r_n)t^n+fr_nt^{n+1} $$ así que \begin {align} r_0&=-a \\ r_1&=-fa \\ r_2&=-f^2a \\ &\;\; \vdots\\ r_n&=-f^na \\ 0&=f^{n+1}a \end {align} Si $f$ no es un divisor cero, tenemos una contradicción.

Tenga en cuenta que si $f$ es un divisor cero, la afirmación es falsa: si $fb=0$ , entonces tomando $P(t)=-b$ tenemos $$ (ft-1)(-b)=fbt+b=b $$ así que $b$ pertenece al ideal generado por $ft-1$ .