confundido en la expansión de taylor

Question

Estoy confundido en lo siguiente.

Considere $f(x) = 1 + x + x^2 +x^3 + ...$ , ahora esto es un G.P y converge sólo para $|x|<1$ Así que $f(x) = 1/(1-x)$ para $|x|<1$ .

Por otro lado, la expansión taylor de $1/(1-x)$ da $f(x)$ sin condiciones en $x$ .

Entonces, ¿cómo son equivalentes los dos? No debería decir "equivalentes", pero espero que se entienda lo que estoy preguntando.

Gracias.

Answer 1

Ser capaz de calcular una serie de Taylor no significa que la serie converja. La convergencia debe comprobarse adicionalmente. El mismo caso ocurre para $\log(1-x)$ o $\log(1+x)$ . Además, hay incluso series de Taylor que convergen y no son iguales al valor de la función. Estos son ejemplos de $\mathcal{C}^\infty$ no funciones analíticas como la tradicional: $$\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$$ para $x=0$ . Quizás este puede ayudarle a aclararse.