Encuentra el menor valor de la expresión $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

Question

Si $a,b$ y $c$ son números reales positivos, entonces encuentra el menor valor de la siguiente expresión:

$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$$ Lógicamente, creo que la respuesta es $a=b=c=1$ . Esto se debe a que si aumentamos el valor de cualquiera de los números positivos, la expresión $(a+b+c)$ aumenta y si disminuimos el valor de alguno de los números positivos, la expresión $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ aumentos. Pero tengo curiosidad por saber si existe un método matemático para resolver esta cuestión.

Answer 1

AM-GM nos dice que para los positivos $x,y,z$ tenemos $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}$ con igualdad si y sólo si $x=y=z$ . Por lo tanto, $$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$$ y $$\frac1a+\frac1b+\frac1c \ge 3\frac1{\sqrt[3]{abc}}$$ Multiplicando obtenemos $$(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) \ge 3\sqrt[3]{abc}\cdot 3\frac1{\sqrt[3]{abc}} =9$$ Y la igualdad se mantiene si y sólo si $a=b=c$ .

Answer 2

Tenemos

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$ .

Desde $x+\frac{1}{x} \ge 2$ para $x>0$ derivamos

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \ge 3+2+2+2=9$

y para $a=b=c=1$ tenemos

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) =9$

Answer 3

**Utilizando $\bf{A.M\geq H.M}$ ** Desigualdad

$$\frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\Rightarrow (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 9$$

y la igualdad se mantiene cuando $\displaystyle a = \frac{1}{a}\Rightarrow a = 1\;,\displaystyle b = \frac{1}{b}\Rightarrow b = 1\;, c = \frac{1}{c}\Rightarrow c = 1$

Answer 4

Por C-S $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq\left(\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}+\sqrt{b\cdot\frac{1}{b}}+\sqrt{c\cdot\frac{1}{c}}\right)^2=9$

Answer 5

Obsérvese que si escalamos $a$ , $b$ y $c$ por $\mu$ obtenemos $$(\mu a+\mu b+\mu c)\left(\frac{1}{\mu a}+\frac{1}{\mu b}+\frac{1}{\mu c}\right)=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).$$ Por lo tanto, como la expresión es invariante bajo la escala, podemos escalar $a$ , $b$ y $c$ para que $a+b+c=1$ . El problema ahora es:

Minimizar: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$ Sujeto a: $$a+b+c=1.$$ Este es un problema establecido para los multiplicadores de Lagrange (normalmente, nos preocuparía que la restricción no describiera una región compacta, pero en la frontera, al menos uno de $a$ , $b$ y $c$ es cero, por lo que la función a minimizar diverge al infinito). Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, tenemos el sistema \begin {align*} - \frac {1}{a^2}&= \lambda\\ - \frac {1}{b^2}&= \lambda\\ - \frac {1}{c^2}&= \lambda\\ a+b+c&=1 \end {align*} Por lo tanto (ya que $a$ , $b$ y $c$ son positivos), \begin {align*} a&= \sqrt {- \lambda } \\ b&= \sqrt {- \lambda } \\ c&= \sqrt {- \lambda } \end {align*} En otras palabras, $a$ , $b$ y $c$ son todos iguales. Por lo tanto, el mínimo se produce cuando $a=b=c=\frac{1}{3}$ y el valor es $9$ .

Como la expresión original es invariante bajo la escala, el mínimo de $9$ se produce cuando $a=b=c$ .