¿Son las normas $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|$ ¿equivalente?

Question

Dejemos que $\|x\|_1=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|$ es una norma para $\ell^1$ Supongamos que $x=\{x_n\}\in\ell^1$ y $\|x\|=\sup|\sum_{k=1}^{n}x_k|$ .

¿Son las normas $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|$ ¿equivalente?

Answer 1

Como la secuencia $\sum_{n=1}^N |x_n|$ es monótona creciente (ya que $|x_n|\geq 0$ ) son de hecho iguales.

EDIT: Para la pregunta modificada: Esta nueva norma no es equivalente a $||-||_1$ . Tomemos por ejemplo la secuencia $x^l=(\frac{1}{2^l},-\frac{1}{2^l},\frac{1}{2^l},\cdots,-\frac{1}{2^l},0,0,0,\cdots)$ (hay $2^l$ términos no nulos). Entonces $||x^l||_1=1$ y $||x^l||=\frac{1}{2^l}$ . Así que $x^l$ converge a $0$ para $||-||$ pero no converge a $0$ para $||-||_1$ .

Answer 2

No me queda claro qué quiere decir con $\sup \sum_{n=1}^n \|x_n\|$ .

Si te refieres a $\sup_n |x_n|$ entonces considere lo siguiente:

Dejemos que $x(N)$ sea la secuencia en $\ell_1$ que comienza con $N$ 1 y es 0 a partir de entonces. Así que $x(N)_n=1$ para $n\leq N$ y $x(N)_n=0$ para $n>N$ .

Entonces $\|x(N)\|_1=N$ pero $\|x(N)\|_\infty =1$ .

Por lo tanto, las dos normas no son equivalentes.

Si te refieres a $\sup_N \sum_{n=1}^N |x_n|$ Entonces (como dice Quimey en su respuesta) esto es $\sum_{n=1}^\infty |x_n|$ por lo que las dos normas son iguales.