¿Cómo utilizar las integrales elípticas de seno y coseno de Lemniscate?

Question

He estado leyendo sobre las funciones lemniscadas de seno y coseno y he descubierto que son esencialmente los análogos lemniscados de las funciones circulares de seno y coseno. La siguiente página de la wiki explica un poco más sobre esto

He subrayado las partes del artículo que no he entendido bien. Por ejemplo, ¿qué representan las variables s y c? ¿Qué representa t?

Abajo he adjuntado una visualización del límite mental que estoy tratando de superar.

¿Es que utilizando la función seno y coseno de la lemniscata se obtienen las longitudes de las componentes y y x de la hipotenusa trazada desde el origen (0,0) hasta el punto final de la longitud de arco de la lemniscata?

La página de Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscatic_elliptic_function

Gracias de antemano.

Answer 1

Sólo toma un punto $P$ en el primer cuadrante que se encuentra en el lemnisco. Recorrer la curva desde el origen hasta $P$ en el primer cuadrante. Sea la longitud de esta parte atravesada de la curva $l$ entonces el segmento de línea $OP$ tiene una longitud igual a $\operatorname {sl} (l) $ .

Por otro lado, si $l'$ es la longitud de la curva recorrida desde el punto $(1,0)$ a $P$ (ver parte amarilla en su imagen) en el primer cuadrante entonces tenemos $OP=\operatorname{cl} (l') $ .

También hay que tener en cuenta que ni $x$ ni $y$ de su imagen pero la longitud $OP =\sqrt{x^2+y^2}$ viene dada por estas funciones lemniscáticas.

¿Entiendes ahora lo que dice la Wikipedia? Avísame si es necesario aclarar algo más.

---

La ecuación polar del lemnisco es $r^2=\cos 2\theta$ y, por tanto, la longitud de arco $l'$ de $(1,0)$ a $P=(\rho\cos\phi, \rho\sin\phi) $ viene dada por $$l'=\int_{0}^{\phi}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right) ^2}\,d\theta =\int_{0}^{\phi}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} $$ Poniendo $t^2=\cos 2\theta $ y señalando que $\rho=\sqrt{\cos 2\phi}$ obtenemos $$l'=\int_{\rho} ^{1}\frac {dt} {\sqrt{1-t^4}}$$ Tenga en cuenta que $\rho=OP=\operatorname{cl} (l') $ por lo que tenemos $$l'=\int_{\operatorname {cl} (l')} ^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$$ y de manera similar $$l=\int_{0}^{\operatorname {sl} (l)} \frac{dt} {\sqrt{1-t^4}}$$ y se obtienen las fórmulas en Wikipedia (el artículo de Wikipedia sustituye a ambos $l, l'$ por $r$ y escribe $s=\operatorname {sl} (r), c=\operatorname {cl} (r) $ ).

Answer 2

Estas integrales se producen al integrar el pozo de potencial cuaternario:

$T = m \dot{x}^2 / 2$ , $V = m k^2 x^4 / 2$

así $L = - m \ddot{x} + 2 m k^2 x^3$

que da una ecuación de movimiento $\ddot{x} = 2 k^2 x^3$

La ecuación $\ddot{x} = F(x)$ puede resolverse multiplicando ambos lados por $\dot{x}$ y la integración por partes: $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\dot{x}^2}{2} \right) = \ddot{x} \dot{x} = 2 k^2 \dot{x} x^3 = 2 k^2 \frac{d}{dt} \left( \frac{x^4}{4} \right)$$

Tras algunas manipulaciones se obtiene la integral elíptica de Gauss:

$k(t - t_0 ) = \int_0^x \frac{ds}{\sqrt{a^4 - s^4}}$

cuya inversa da la solución $x(t) = a\text{sl}(ak(t-t_0 ))$ .

La constante de integración $a$ surge de la primera integral y $t_0$ del segundo.