Extender los dominios de transformadas integrales limitadas densamente definidos en $L^2(\Bbb R)$

Question

Esta es una pregunta que he contemplado durante bastante tiempo ya que es bastante estrechamente relacionado con la teoría de Fourier (en particular la elección de la "derecha" espacio para definir la transformada de Fourier). Sin embargo nunca he sido capaz de llegar con algo parecido a una respuesta para esto. Ni he visto el tema sea abordado en cualquier lugar.

Deje $X$ ser denso en $L^2(\Bbb R)$ $T:X\subseteq L^2(\Bbb R)\to L^2(\Bbb R)$ ser el operador integral dada por

$$ Tf(x) = \int_{-\infty}^{\infty} k(y,x) f(x)\,dx$$

donde la integral es la integral de Lebesgue. Suponga que $T$ está acotada. Si $g\in L^2(\Bbb R)\setminus X$ pero tenemos que

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |k(y,x)| |g(x)|\,dx < \infty$$

para cada una de las $y$ ($Tg$ bien planteado). Es necesariamente el caso de que $Tg$$L^2(\Bbb R)$? Tenga en cuenta que $T$ que se entiende como una transformación integral, no la extensión de $T$ (ya que sería la verdadera trivialmente). Mi primer acercamiento fue considerar algunos límite de elementos en $X$ que el enfoque de $g$$L^2$, pero realmente no podía pieza más de un argumento juntos, ya que no era obvio para mí de cómo proceder.

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Un parcial intento:

Desde $X$ es denso en $L^2(\Bbb R)$, hay una secuencia $(f_m)\subseteq X$ tal que $f_m\to g$$L^2(\Bbb R)$. Desde $L^p$ convergencia implica pointwise en casi todas partes, la convergencia de una larga $(f_{m_k})$$g$. Por otra parte, $f_{m_k}\to g$$L^2(\Bbb R)$.

Desde $f_{m_k}(x) \to g(x)$ para casi todas las $x$, $k(y,x) f_{m_k}(x) \to k(y,x)g(x)$ en casi todas partes. Suponiendo que se puede demostrar que

$$\int_{-\infty}^{\infty} k(y,x) f_{m_k}(x)\,dx\to \int_{-\infty}^{\infty} k(y,x)g(x)\,dx,\tag{1}$$

entonces a partir de la $(f_{m_k})$ es de Cauchy y $T$ es acotado, $(Tf_{m_k})$ es de Cauchy y por lo tanto converge a un elemento de $L^2(\Bbb R)$. Este luego dice que

$$\int_{-\infty}^{\infty} k(y,x) g(x)\,dx = \lim_k \int_{-\infty}^{\infty} k(y,x) f_{m_k}(x)\,dx = \lim_k Tf_{m_k}(y).$$

Desde $\lim_k Tf_{m_k}\in L^2(\Bbb R)$, tendríamos que $Tg\in L^2(\Bbb R)$, ya que de acuerdo casi en todas partes.

Este se basa en el $(1)$ ser verdad. $(1)$ puede ser demostrado si dominado convergencia puede ser aplicado, sin embargo no está claro que el $k(y,\cdot)f_{m_k}$ puede ser delimitada de manera uniforme por una función integrable para un fijo, pero arbitrario $y$. Si $g$ podría ser aproximada dentro de los elementos en $X$, esto debería funcionar, pero que es muy fuerte condición, y no será el caso en general.

Answer 1

Aquí es un tonto contraejemplo que, sin embargo, muestra lo que es posible.

Deje $k(y,x)=1$ todos los $x,y$ y definir $$ X=\left\{ f \en L^1 \cap L^2 \, \medio| \,\int f(x)\, dx=0\right\}. $$

Tenga en cuenta que $X$ es un subespacio de $L^2$ que es denso, ya que para $f\in C_c$, podemos establecer$\alpha =\int f \, dx$$f_n = f -\alpha/n\cdot 1_{[0,n]}$. Es fácil ver que el "añadido" de plazo va a cero en $L^2$ y, por tanto,$f_n \to f$$f_n \in X$.

También, en $X$, la integral operador satisface $T \equiv 0$, lo cual es ciertamente limitada :)

Por último, para cada función de $f\in L^2$ con $$ \int |k(y,x) f(x)|\, dx <\infty, $$ tenemos $f\in L^1$ y aplicando el operador integral de los rendimientos de la constante de la función$T f \equiv \alpha$$\alpha =\int f \, dx$. Por lo tanto, $Tf\in L^2$ fib $\alpha =0$ fib $f \in X$.