Suponiendo que $(GCH)$ , fuertemente inaccesible y débilmente inaccesible coinciden

Question

Mi libro dice

"... Si $GCH$ es válida, entonces las nociones de cardenales fuertemente inaccesibles y débilmente inaccesibles coinciden, ..."

En $ZFC$ Puedo demostrarlo. Pero el párrafo del que he extraído esta frase comienza con

"... Aparentemente hemos encontrado un modelo de conjunto de $ZF$ . ..."

Lo que sugiere que tal vez tenemos fuertemente = débilmente inaccesible en $ZF + GCH$ .

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¿Se puede mostrar en $ZF + GCH$ que débilmente inaccesible implica fuertemente inaccesible?

Mi definición de elección de cardenales en ausencia de elección es $|A| = \{ B : B \approx A \text{ and } B \in V_\beta \}$ donde $\beta$ es el ordinal más pequeño tal que existe un $B$ en $V_\beta$ que está en biyección con $A$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

En primer lugar, debo señalar que hay alguna corrección en su definición de cardinal. Si hay un ordinal que está en biyección con $A$ entonces $|A|$ es el menor de los ordinales; en caso contrario, es el conjunto que has descrito.

Ahora debo señalar que hay dos maneras de formular GCH cuando el axioma de elección falla.

1. Para cada ordinal $\alpha$ , $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ . Esto se conoce en algunos lugares como el Hipótesis del Aleph .
2. Para cada conjunto $X$ si $Y$ es tal que $|X|\leq|Y|<|\mathcal P(X)|$ entonces $|Y|=|X|$ . Esto se conoce como el Hipótesis de continuidad generalizada .

Es evidente que bajo el axioma de elección ambos son equivalentes. Sin embargo, resulta que ambas son realmente equivalentes sin el axioma de elección porque ambas implican que el axioma de elección.

Si ZF+GCH implican el axioma de elección, entonces tu pregunta es trivialmente afirmativa, porque como has comentado la implicación en ZFC es simple.