Continuidad de la integral dependiente del parámetro (se necesita la fuente)

Question

Estoy buscando una referencia de un libro para el resultado de la continuidad de una integral (que se encuentra en http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Parameter-dependent_integral ):

Dejemos que $D \subset \mathbb{R}^n$ y $t \in (0,T)$ y que $f(x,t)$ sea una función continua en $t$ para casi todos los $x \in D$ y que $|f(x,y)| \leq g(x)$ donde $g$ es integrable. Entonces $$J(t) = \int_{D}f(x,t)dx$$ es continua con respecto a $t$ .

Intenté las referencias en el sitio pero requieren la continuidad de $t \mapsto f(x,t)$ por cada $x$ pero lo necesito para casi todos los $x$ sólo.

Answer 1

Es bastante sencillo reducirlo a la suposición de que $t\mapsto f(x,t)$ es continua para todo $x$ Sólo hay que reemplazar $f$ con $h(x,t) = f(x,t)\cdot \chi_{D\setminus N}(x)$ , donde $N$ es un conjunto nulo tal que $t\mapsto f(x,t)$ es continua para todo $x\in D\setminus N$ . $J(t)$ no ha cambiado en absoluto.

Sin embargo, usted pide una referencia citable, así que:

• Jürgen Elstrodt, Measure and Integration Theory, Springer Verlag 1996, Capítulo IV, Teorema 5.6

ofrece una formulación ligeramente más general. (No sé si el libro ha sido traducido, debería serlo, es un buen libro).

La traducción es mía:

5.6 Teorema (Dependencia continua de una integral con un parámetro):
Dejemos que $T$ un espacio métrico y $f\colon T\times X\to \mathbb{K}$ satisfacer

1. $x \mapsto f(t,x) \in \mathcal{L}^1$ para todos $t\in T$ .
2. Para $\mu$ -casi todos $x\in X$ , $t\mapsto f(t,x)$ es continua en $t_0 \in T$ .
3. Existe una vecindad $U$ de $t_0$ y una función integrable $g \colon X \to [0,\infty]$ tal que para todo $t \in U$ : $$\lvert f(t,\,\cdot\,)\rvert \leqslant g\quad \mu-\text{a.e.}^\dagger$$

Entonces la función $F \colon T \to \mathbb{K}$ , $$F(t) := \int_X f(t,x) d\mu(x)\quad (t\in T)$$ es continua en el punto $t_0\in T$ y también el mapa $\Phi \colon T\to \mathcal{L}^1,\; \Phi(t) := f(t,\,\cdot\,) \in \mathcal{L}^1\quad (t\in T)$ es continua en $t_0\in T$
$(\dagger)$ La unión de los conjuntos nulos $N_t = \{\lvert f(t,\,\cdot\,)\rvert > g\}\quad (t\in U)$ no tiene por qué ser un conjunto nulo.

Answer 2

Permítanme darles una prueba directa.

Fijar $ t\in (0, T) $ y que $ \{t_n\} $ sea una secuencia en $ (0, T) $ convergiendo hacia $ t $ . Entonces tenemos $$ \lvert f(x,t_n)\rvert\leqslant g(x)\quad\text{for every }\ n $$ donde $ g $ es integrable. Dado que $ f(x,t) $ es continua en $ t $ para casi todos los $ x\in D $ denota el conjunto donde $ f(x,t) $ no es continua en $ t $ por $ E $ y $ \mu(E)=0 $ donde $ \mu $ denotan la medida de Lebesgue. Por lo tanto $$ \lim_{t_n\to t}f(x, t_n)\to f(x, t)\quad\text{for} \ x\in D\setminus E .$$ Utilización de la Teorema de convergencia dominada deducimos que $ f(x,t) $ es integrable en $ D\setminus E $ y $$ \lim_{n\to\infty}\int_{D\setminus E}f(x,t_n)dx=\int_{D\setminus E}f(x,t)dx $$ Desde $ \mu(E)=0 $ Por supuesto, tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\int_{D}f(x,t_n)dx=\int_{D}f(x,t)dx .$$ Entonces \begin{align} \lvert J(t)-J(t_n)\rvert &=\left| \int_D f(x,t)dx-\int_D f(x,t_n)dx \right| \end{align} Sea $ n\to\infty $ tenemos $ J(t_n)\to J(t) $ . Según la definición de Continuidad de Heine sabemos que $ J(t) $ es continua con respecto a $ t $ .