probar esta desigualdad $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}>\dfrac{e^x}{2}$

Question

que $0<x\le n$, prueban que $$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}>\dfrac{e^x}{2}$ $

Ahora he probar $x=n$ caso mis métodos es muy feo, y $x\in(0,n]$, no puedo probarlo gracias

lo siguiente es $x=n$ solución muestran que $$1+\dfrac{n}{1!}+\dfrac{n!}{2!}+\cdots+\dfrac{n^n}{n!}>\dfrac{e^n}{2},n\ge 0,n\in Z$ $

Utilice este % $ $$e^n=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n^k}{k!}+\dfrac{1}{n!}\int_{0}^{n}(n-t)^ne^tdt$

entonces $$\Longleftrightarrow n!>2e^{-n}\int_{0}^{n}(n-t)^ne^tdt$ $ $$\Longleftrightarrow \int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt>2e^{-n}\int_{0}^{n}(n-t)^ne^tdt$ $ $u=n-t$ $$\Longleftrightarrow \int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt>2\int_{0}^{n}u^ne^{-u}du$ $$$\Longleftrightarrow \int_{n}^{\infty}u^ne^{-u}du>\int_{0}^{n}u^ne^{-u}du$ $let $f(u)=u^ne^{-u}$ % # % $#% esto es muy fácil.

Answer 1

Aquí está una reducción para el caso $x=n$.

Aviso que por integración por partes tenemos %#% $ #%

Por lo tanto es suficiente para mostrar que $$\int_x^\infty \frac{t^n}{n!} e^{-t} \, dt = e^{-x}\left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}\right).$ $ pero claramente $$\int_x^\infty \frac{t^n}{n!} e^{-t} \, dt > \frac{1}{2}.$ cuando $\int_x^\infty \frac{t^n}{n!} e^{-t} \, dt \ge \int_n^\infty \frac{t^n}{n!} e^{-t} \, dt$.