Demuestre que existen infinitos pares (a,b) tales que ambos $x^2+ax+b$ y $x^2+2ax+b$ tienen raíces enteras

Question

La pregunta es : Demuestre que existen infinitos pares (a,b) de enteros relativamente primos (no necesariamente positivos) tales que ambas ecuaciones cuadráticas $x^2+ax+b$ =0 y $x^2+2ax+b$ =0 tienen raíces enteras. Este es el problema, lo he intentado de muchas maneras. Al principio dejamos que hay finamente muchos pares entonces vamos a demostrar que es una contradicción. Es un problema INMO. Que alguien me ayude por favor. Gracias.

Answer 1

Una pista: Sólo tenemos que demostrar que para un número infinito de parejas enteras $(a,b)$ con $\gcd(a,b)=1$ ambos $a^2-4b$ y $a^2-b$ son cuadrados. Si establecemos $$a^2-b = (a-k)^2 = a^2-2ak+k^2$$ obtenemos $b=2ak-k^2$ y al imponer que $$a^2-4b = a^2-8ak+4k^2 = (a-4k)^2 - 3 (2k)^2$$ es un cuadrado, obtenemos que el problema es equivalente a demostrar que hay un número infinito de puntos racionales en la curva $\color{red}{x^2-3y^2=1}$ . Desde $(2,1)$ es un punto racional, una infinidad de puntos racionales está dada por la intersección de $y=m(x-2)+1$ (con $m\in\mathbb{Q}$ ) con $x^2-3y^2=1$ .

Así que, resumiendo, este es un ejercicio más que puede ser abordado a través de Salto de Vieta .

Answer 2

Queriendo $a^2-b=c^2$ y $a^2-4b=d^2$ podemos ver que queremos $4c^2-d^2=3a^2$ . Si $a$ es impar, podemos resolver $2c-d=3$ , $2c+d=a^2$ conseguir:

$$c=\frac{a^2+3}{4}, d=\frac{a^2-3}{2}$$

A continuación, utilice $3b=c^2-d^2$ para determinar $b$ en términos de $a$ y luego hacer mucha aritmética para obtener una familia infinita explícita. Hay otra condición (simple) requerida en $a$ para hacer $a,b$ relativamente primo.

Consigues, después de algún trabajo, que si $a=2k-3$ entonces $b=-k(k-1)(k-2)(k-3)$ entonces $$x^2+ax+b=0$$ tiene dos soluciones enteras, $k(k-2)$ y $-(k-1)(k-3)$ y $$x^2+2ax+b=0$$ tiene dos soluciones enteras $k^2-k$ y $-(k-2)(k-3)$ .