¿Cómo se obtiene esta función de densidad conjunta?

Question

Dado $X \sim u(0,1)$ definimos $Y=1-X$ entonces tenemos que $f_{X}(x)=I_{[0,1]}(x)$ y $F_{X}(x)=xI_{[0,1]}(x) + I_{(1, \infty)}(x)$ . Lo sé, si $0\le y \le 1$

$$F_{Y}(y)=P[Y \le y]=P[1-X \le y]=P[1-y \le X]=1-P[X <1-y]=1-F_{X}(1-y)=1-(1-y)=y$$

por lo tanto $Y \sim u(0,1)$ y $f_{Y}(y)=I_{[0,1]}(y)$ .

Porque $X,Y$ no son independientes, ¿cómo puedo encontrar $f_{X,Y}(x,y)?$ Recibiré cualquier idea, gracias de antemano.

Answer 1

En efecto, $X$ y $Y$ son ambos uniformes en $(0,1)$ . Dejemos que $D=\{(x,y)\mid x\gt0,y\gt0,x+y=1\}$ , entonces el conjunto $D$ tiene una medida de Lebesgue nula y $P[(X,Y)\in D]=1$ por lo que $(X,Y)$ no tiene densidad.

Una forma de caracterizar la distribución resultante en estos casos es proporcionar el valor de $E[u(X,Y)]$ para toda función (medible y acotada) $u$ . Aquí, $$ E[u(X,Y)]=\int_0^1u(x,1-x)\,\mathrm dx. $$