La pérdida de soluciones en $\cos{x}+\cos{2x}=0$

Question

Estoy tratando de resolver $\cos x=-\cos2x$ , $-\pi<x\leq\pi$ Sin utilizar las fórmulas de los ángulos dobles, aquí está mi trabajo actual: $$\begin{align*}\cos x&=-\cos2x\\ \cos (x\pm2k\pi)&=\cos (2x\pm(2k+1)\pi)\\ \implies x\pm2k\pi&=2x\pm(2k+1)\pi\\ x&=2x\pm\pi\\ x&=\pm\pi\\ \therefore x&=\pi\text{ , in the given range of $ x $}\end{align*}$$

Gráficamente es evidente que he echado en falta otras dos soluciones, $x=\pm\frac{\pi}{3}$ Sin embargo, no sé por qué, porque no he realizado, que yo sepa, ninguna operación ilegal, como dividir por cero.

¿Podría alguien señalar mi error por favor y dar una solución editada? Gracias.

Answer 1

Utiliza eso

$$\cos x=-\cos2x \iff \cos x=\cos(\pi-2x)$$

y que

$$\cos \alpha = \cos \theta \iff \alpha = \theta +2k\pi \, \lor \, \alpha = -\theta +2k\pi \quad k\in \mathbb{Z}$$

Consulte también el

• Resolver $\cos(3x) = \cos(2x)$

Answer 2

$$\cos(x+\pi)=\cos(2x)\iff x+\pi=2k\pi\pm2x.$$

Por lo tanto,

$$x=(2k+1)\pi\lor x=(2k+1)\frac\pi3.$$