Sea una función mutivariante cóncava $f(\textbf{x})=\textbf{y}$ . Observé la siguiente conjetura: el valor máximo de $f$ es alcanzable cuando todas las entradas de $\textbf{x}$ son iguales.
¿Cómo se puede demostrar dicha propiedad o cuáles son las herramientas utilizadas para demostrar dichas propiedades?
Gracias de antemano
Esto no funciona en general, pero es una observación muy útil en los casos particulares en los que se cumple.
Empezando por la razón de que no lo hace de trabajo, observe que la concavidad no garantiza que exista un máximo - por ejemplo $$f(x,y)=\begin{cases}x &&\text{if }x\leq 0 \\\log(x+1) &&\text{if }x>0\end{cases}$$ es una función cóncava, pero no tiene un máximo. Además, si tomamos una función como $$f(x,y)=-x^2-(y-1)^2$$ que es cóncava, tiene un máximo en $(x,y)=(0,1)$ que no está en la línea $x=y$ como usted conjetura.
Sin embargo, Lo que probablemente te encuentres es una idea muy importante en matemáticas que te facilitará mucho la vida. En particular, sospecho que los ejemplos que estás resolviendo son simétrico en sus argumentos, es decir, el orden de las variables no importa, por lo que, para $3$ variables: $$f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=f(z,x,y)=f(y,z,x)=f(z,y,x)$$ o expresiones similares en otras dimensiones. Esto, junto con la concavidad, garantiza que cada máximo (y máximo local) tendrá todas las coordenadas iguales. Esto se deduce del hecho de que, por ejemplo, en $2$ dimensiones, si pensabas que $(a,b)$ para $a\neq b$ fuera un máximo, la concavidad sostendría que como $f(a,b)=f(b,a)$ si tomamos la media de las posiciones $(a,b)$ y $(b,a)$ para conseguir $\left(\frac{a+b}2,\frac{a+b}2\right)$ la función $f$ obtendría al menos el mismo valor que en $f(a,b)$ aquí, por lo tanto $(a,b)$ no puede ser un máximo estricto.
Esta es una herramienta muy útil: si observas que tu función es cóncava y tiene esta simetría, puedes saber inmediatamente que, para encontrar el máximo, si existe, sólo tienes que comprobar el caso en el que todas las coordenadas son iguales. Hay todo tipo de simetrías que puedes observar y que pueden dar lugar a simplificaciones similares (por ejemplo, reflexiones sobre planos como $f(x,y,z)=f(-x,y,z)$ que, junto a la concavidad, implicaría $x=0$ para cualquier máximo).
Gracias por su respuesta. En realidad tengo un problema de optimización y después de algunas simulaciones me di cuenta de que el máximo se produce cuando todos los componentes son iguales. Mi objetivo es en realidad simétrica en la forma en que mentionned, pero teniendo en cuenta las restricciones de igualdad (Ax = b), las variables no son más simétricas
Si las restricciones tienen una simetría similar, también podría funcionar; por ejemplo, maximizar $x+y+z$ sobre la esfera unidad (es decir $x^2+y^2+z^2=1$ ) da como resultado $x=y=z$ ya que si $(x,y,z)$ está en la esfera también lo está cualquier permutación de las coordenadas - pero tú dices que no es el caso. No se me ocurre ninguna otra razón general por la que las coordenadas deban ser iguales (aunque podría haber alguna simetría en la que no hayas reparado). ¿Cuál es exactamente el problema de optimización en el que estás pensando?
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