Iteración del neutonio en múltiples de Riemannian

Question

Supongamos $f:M \to N$ es un buen mapa entre completa de Riemann colectores de la misma dimensión. Supongamos $Df(m_0)$ es invertible, y $n$ es un punto cercano a $f(m_0)$. Podemos realizar la iteración de Newton para encontrar un punto de $m^*$ la asignación a $n$ tal y como hacemos en la prueba del Teorema de la Función Inversa, mediante la adopción de $m_{i+1} = \exp_{m_i} \circ (Df_{m_i})^{-1} \circ \log_{f(m_i)}(n)$? Esperemos que nos esperan en esta convergencia a un punto de la asignación a $n$ si $n$ es elegido suficientemente cerca de a $f(m_0)$.

Mis disculpas si esto es una tontería; todavía estoy aprendiendo acerca de Riemann colectores, $\log$, $\exp$, etc.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero un comentario extendido después de mi comentario anterior:

Elegir los gráficos de $\phi:M \to \mathbb{R}^n$$\psi:N\to\mathbb{R}^n$; a continuación, puede "tirar" la función de $f$ a una función $$g: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\quad x\mapsto (\psi \circ f \circ \phi^{-1})(x).$$

Ahora puede ejecutar el método de Newton sobre la función de $g(x) - \psi(n)$, con regla de actualización de $$x_{i+1} = x_i - (Dg)^{-1}[g(x_i)-\psi(n)].$$

Ahora claramente esta forma de Newton del método sólo requiere diferencial de la estructura en $M$$N$, y no una métrica: no importa lo que los gráficos de $\phi$ $\psi$ usted escoja, siempre que el valor inicial es lo suficientemente cerca de la raíz, $f$ es lo suficientemente regular, etc. y que la recorre $x_i$ no deje a los gráficos, que van a converger a una solución de $x_\infty$. Por supuesto, el intermedio recorre variará dependiendo de su elección de los gráficos, pero "ser root" es claramente una coordenada independiente de la propiedad de los puntos de $M$.

Lo que has hecho es elegida $\phi$ $\psi$ naturales de coordenadas en $M$$N$. Una arruga adicional es que usted está cambiando los gráficos de cada iteración, y cómo esta afecta a la convergencia del método de Newton no es obvio para mí de improviso. Su formulación es agradable en el que se coordinan libre: no estoy convencido de que es necesariamente más eficiente desde una perspectiva computacional, sin embargo, ya que la mejor opción de gráficos (en el sentido de maximizar el radio de convergencia) tiene mucho que ver con la forma de $f$$M$$N$. Incluso para $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, por ejemplo, el cambio de coordenadas Cartesianas a coordenadas polares puede afectar dramáticamente si y cómo rápidamente el método de Newton converge para una función determinada, y la estimación inicial.