¿Teoría antigua? La comunidad de la teoría de tipos de homotopía afirma estar "redescubriendo" a Frege, y, Martin-Lof encontró cierta motivación en Russell.
La paradoja de Russell se basa en una interpretación específica de la relación de pertenencia motivada por el logicismo, a saber, que sea irreflexiva. Bajo la suposición de que es la única primitiva de un lenguaje, una eliminación del cuantificador universal que produzca una ocurrencia reflexiva de la pertenencia generará una clase abstracta ininstanciable ( { x | ... } ).
En lugar de hablar de "matemáticas", habría que hablar de presupuestos con respecto a un paradigma. En los fundamentos de la teoría de las categorías, la pertenencia puede ser reflexiva. Lawvere sostiene que el logicismo se apartó de la práctica matemática estándar. Además, los teóricos de conjuntos categóricos sostienen que la interpretación logicista no es fiel a los puntos de vista de Cantor. Esto es algo en lo que hay que pensar cuando se dice que Cantor nos dio la teoría de conjuntos.
El fundamento de Russell para las matemáticas no tiene una metateoría porque en realidad desarrolló las bases para reconocer su posibilidad. Existe un procedimiento de generación de términos llamado descripción definida. Frege lo utilizó para hablar de "la extensión de un concepto". Esto parece haber sido un uso referencial de las descripciones. Pero, el sistema lógico de Frege no parece tener una forma clásica. En particular, conservó la ley de identidad tomando la clase vacía como denotación para las ficciones. Así, los nombres con intensiones diferentes se establecerían como iguales entre sí. Russell intentó reparar esto interpretando las descripciones definidas de forma atributiva. Este es el presupuesto del paradigma de primer orden.
Tarski, impresionado por el trabajo de Russell, se alejó de la escuela polaca y de su mentor Lesniewski. Su introducción de una metateoría trata efectivamente todos los términos singulares de una teoría de primer orden como intensiones. Se trata de una generalización de la interpretación atributiva de las descripciones definidas.
Es un poco inapropiado comparar la aritmética logicista con la aritmética de los formalistas como Hilbert. Como señaló Russell, ¿cómo explica el formalista la sucesión desde los primeros principios? Skolem el Grande no hizo más que afirmar que era "obvio". Podría considerar buscar la expresión "trabajo honesto" para entender la opinión de Russell sobre el formalismo. En la medida en que la investigación fundacional pretende dar cuenta de los supuestos utilizados en las pruebas matemáticas, decir que algo es simplemente "obvio" es poco más que un insulto a la inteligencia. En cualquier caso, el relato de Frege sobre la aritmética utilizaba la disyunción inclusiva para implementar la sucesión para el paradigma logicista.
En cuanto a la metamatemática aritmética del programa de Hilbert, si las matemáticas se limitan a la axiomática formal, el uso de números externos a esos axiomas es una aplicación de las matemáticas. La credibilidad que uno da a las afirmaciones metamatemáticas debería considerarse como una indicación de las creencias que uno tiene respecto a las matemáticas. Aquí hay cuestiones sutiles.
Galileo, al parecer, reconoció que se podía llevar el reduccionismo hasta la ortografía de las palabras. Pensó que no tenía sentido.
