Dimensión infinita - convergente

Question

En un espacio normado de dimensión finita la convergencia por componentes implica la convergencia. Lo contrario es cierto. Pero en un espacio normado de dimensión infinita, la convergencia por componentes no implica convergencia. Necesitamos encontrar un contraejemplo para entender esta situación. ¿Tienen alguna idea? Gracias por su interés y tiempo.

Answer 1

Hay contraejemplos fáciles en $l^2,$ el espacio lineal normado de las secuencias cuadradas sumables. Para $n=1,2,\dots,$ dejar $e_n$ sea la secuencia que tiene $n$ componente igual a $1$ y ceros en el resto. Entonces $e_n$ converge a $0$ en cada componente, pero $e_n$ no converge en $l^2.$

Answer 2

Por ejemplo, una secuencia de funciones puntuales pero no uniformemente convergentes, $$ f_n(x)=x^n $$ en el espacio de las funciones de valor real en el intervalo, la secuencia converge puntualmente. En cambio, con respecto a la norma del sumo, la secuencia no converge a ninguna parte.