Longitud de arco de un semicírculo conociendo la altura y la longitud

Question

Tengo un agujero que necesito cubrir con plástico usando tubo de pvc doblado en forma de arco. Tengo el ancho y la altura del arco. La altura es desde la parte superior del agujero hasta la parte superior del arco. La anchura se mide desde cada lado del agujero. Necesito la longitud del arco para saber qué anchura debe tener el plástico para cubrirlo. Supongamos que mi agujero tiene 22' de ancho y la altura del arco sería de 5'.

Parece que esto sería suficiente información para calcular la longitud. Sólo encuentro fórmulas basadas en el radio y el ángulo. Ambos serían desconocidos porque no tengo ni idea de cómo obtenerlos teniendo en cuenta la escala. Eso sí, la altura del arco queda a mi criterio.

Answer 1

Suponiendo que tu agujero sea efectivamente circular, se puede hacer así.

Por supuesto, llamaremos al radio $r$ . Además, estoy usando $w$ como la mitad de la anchura medida . En este diagrama, $$ \sin \theta = \frac{w}{r} \quad\quad\quad \cos\theta = \frac{r - h}{r} $$

Una forma de combinar estas expresiones es utilizando la identidad $$ \sin^2\theta +\cos^2\theta = 1 $$

Tras una simplificación, esto produce $$ r = \frac{w^2 + h^2}{2h} $$

También podemos encontrar el ángulo $\theta$ ahora $$ \sin \theta = \frac{w}{r} \\ \theta = \arcsin\frac{w}{r} \\ \theta = \arcsin\frac{2hw}{w^2+r^2} $$

Combinando todo esto podemos encontrar la arclitud $l$ $$ l = r(2 \theta) \\ l = 2 \frac{w^2 + h^2}{2h} \arcsin\left(\frac{2hw}{w^2 + h^2}\right) \\ l = \frac{w^2 + h^2}{h} \arcsin\left(\frac{2hw}{w^2 + h^2}\right) $$

Para $h = 5$ y $w = 11$ , $l = 24.915...$

Answer 2

Usaré $s$ para la mitad de la anchura del agujero, $h$ para la altura del arco, y $d$ para la profundidad desconocida del centro del círculo por debajo del nivel del agujero.

$d^2 + s^2 = (d+h)^2 = d^2 + 2dh + h^2$

$s^2 = 2dh + h^2$

$2dh = s^2 - h^2$

$d = (s^2 - h^2)/2h$

El radio del círculo es $r = d+h = \frac{s^2}{2h} + \frac{h}{2}$ . El ángulo del semiarco es $\arcsin(s/r)$ o de forma equivalente $\arctan(s/d)$ multiplicar esto (¡en radianes!) por $2r$ para obtener la longitud de todo el arco.