Compruebe la naturaleza de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$

Question

Compruebe la naturaleza de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$

Encuentro el límite del enésimo término. Tengo cero, no tengo ninguna esperanza. He probado la prueba de comparación de límites, la prueba de relación y la prueba de la raíz enésima de Cauchy. Ninguna funciona. ¿Pueden ayudarme, por favor?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n}=\frac{1}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}\le \frac{1}{2n^{3/2}}$$

Answer 2

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} < \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(\sqrt{n})} \\ and \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} > \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(\sqrt{n+1})} \\now \ use \ comparison \ test... $

Answer 3

De manera más general, considere $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^a-n^a}{n} $ donde $1 >a > 0$ . Este problema es el caso $a = \frac12$ .

Desde $x^a$ es monótona, y $(x^a)' = a x^{a-1} $ , $(n+1)^a-n^a =\int_n^{n+1} (x^a)' dx =\int_n^{n+1} ax^{a-1} dx \lt a n^{a-1} $ así que $\frac{(n+1)^a-n^a}{n} \lt \frac{a n^{a-1}}{n} = \frac{a }{n^{2-a}} $ y la suma de estos converge.