Puntos de la curva de momentos $(y,y^2,\ldots, y^d)$ siempre forman una base de ${\mathbb R}^d$ para $d$ diferentes opciones no nulas de $y$ . La fórmula del determinante de una matriz de Vandermonde dice que esto es cierto incluso para valores complejos $y$ y ${\mathbb C}^d$ . Así que podríamos usar $y = e^{ix}$ para diferentes reales $x \in (0,\pi)$ y obtener una base para ${\mathbb C}^d$ . Esto parece sugerir que las componentes real e imaginaria deben formar bases de ${\mathbb R}^d$ y $i{\mathbb R}^d$ respectivamente como espacios vectoriales sobre ${\mathbb R}$ . De ahí la pregunta, ¿los vectores $(\sin x, \sin 2x, \ldots, \sin dx)$ siempre forman una base de ${\mathbb R}^d$ para $d$ valores distintos $x \in (0, \pi )$ ? Si es así, ¿cuál es una forma fácil de verlo?
Respuesta
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Dominik
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Supongo que su $\Bbb R^d$ se supone que es el espacio vectorial $V$ que es simplemente el tramo lineal de $(\sin n x)_{n=1}^d$ . Por definición $(\sin n x)_{n=1}^d$ es un conjunto generador de $V$ y sólo tenemos que demostrar que estas funciones son linealmente independientes.
Para ello, consideremos el producto escalar $$(f,g)=\int_0^{2\pi} fg dx$$ en $V$ . Es fácil demostrar que $\int_0^{2\pi} \sin(nx)\sin(mx) dx=0$ para $n\neq m$ . Por lo tanto, los vectores $(\sin n x)_{n=1}^d$ son mutuamente ortogonales y, por tanto, linealmente independientes.
