Dejemos que $X = \mathbb{C} \setminus \{2,-2\}$ y $Y = \mathbb{C} \setminus \{\pm 1,\pm 2\}$ . El polinomio que estoy examinando es $p: Y \to X$ dado por $p(z) = z^3 - 3z$ . Quería demostrar que es un mapa de cobertura, y para ello sólo necesito demostrar que es un homeomorfismo local propio. Puedo explicar por qué es un homeomorfismo local y creo que también sé por qué es propio, pero me preguntaba si un argumento en esta línea es válido (no he completado los detalles): $p : Y \to X$ puede extenderse naturalmente a un polinomio suryente $p': \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ lo cual es adecuado (es una prueba estándar), por lo que $p: p'^{-1}(X) \to X$ es apropiado.
Respuesta
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El argumento no es completo, por el siguiente agujero.
Dado que la función $p' : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es adecuado, usted sabe que si $K \subset X$ es un subespacio compacto entonces, ya que $K \subset X \subset \mathbb{C}$ es compacto, se deduce que el subespacio $(p')^{-1}(K) \subset \mathbb{C}$ es compacto.
Sin embargo, la función que se intenta demostrar es propia, a saber $p : Y \to X$ se define como la restricción de dominio y rango de $p'$ . Y para demostrar que $p$ es adecuado, dado $K \subset X$ un subespacio compacto entonces debes demostrar que el subespacio $$p^{-1}(K) = Y \cap (p')^{-1}(K) \subset Y $$ es compacto. No es cierto que una restricción general de dominio y rango de una función propia sea propia. Y sin usar algo especial sobre la restricción particular $p$ La compacidad de $p^{-1}(K)$ no se deduce de la compacidad de $(p')^{-1}(K)$ . Una forma de pensar en lo que puede fallar es la afirmación del comentario de @freakish: en general $p^{-1}(K)$ no tiene por qué ser un subconjunto cerrado de $(p')^{-1}(K)$ .
Así que todavía tienes un poco de trabajo que hacer. Tendrás que usar algo especial sobre la función de restricción $p$ .
