integral impropia de Riemann e integral de Lebesgue

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua sobre $(0,1]$ y se define como $f: [0,1] \to \mathbb R$ . Demuestre que si $f$ es integrable por Lebesgue en $[0,1]$ la integral impropia de Riemann $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^1 f(x)\,dx$ existe y es igual a la integral de Lebesgue en $[0,1]$ .

Mi suposición: He leído en algún sitio que la integral de Lebesgue y la de Riemann son iguales cuando la función es continua y el intervalo es compacto. ¿Es útil en mi caso?

Answer 1

Su suposición "Demuestre que si $f$ es Lebesgue-integrable" equivale a suponer que $$ \int_{(0,1]} |f| < \infty. $$ Supongamos primero que $f$ es positivo. Entonces la función $$ g(x)= \int_{[x,1]} f $$ (siendo la integral de Lebesgue) es una función continua de $x$ y está acotado por encima de la suposición. Dado que $g(x)$ aumenta a medida que $x$ disminuye hacia $0$ el límite $$ \lim_{x \searrow 0^+} g(x) = \int_{(0,1]}f $$ existe y es igual a la integral de Lebesgue de $f$ porque $$ \int_{(0,x)} f \longrightarrow 0 $$ es la diferencia entre $g(x)$ y la integral de $f$ en $(0,1]$ y llega a cero. Como la integral de Riemann sobre el intervalo $[x,1]$ y la integral de Lebesgue sobre el mismo intervalo coinciden, la integral impropia existe en este caso.

Para completar la prueba, escribe $$ f_+ = \max \{f,0\}, \qquad f_- = \max\{-f,0\}. $$ Observe que $f = f_+ - f_-$ y como ambas funciones son positivas y continuas se puede aplicar el resultado anterior. Por la linealidad de ambas integrales (Riemann y Lebesgue) sobre sumas de funciones continuas, has terminado.

Espero que eso ayude,