Algunos físicos me han dicho que si piensas en un extendido n-dimensional TQFT $F$, entonces el decategorification se da por $F'(X)=F(X\times S^1)$, que creo llaman "compactación en un círculo." ¿Hay alguna manera de hacer esta declaración exacta?
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John Topley
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Si te parece una TQFT como un functor de cobordisms para espacios del vector, entonces $F(X \times S^1)$ le dará la dimensión del espacio estado de $X$ (o la superdimension o lo que sea), ya que es el rastro de la identidad. (En el cri du jour de $\infty$-categorías, el functor cobordism no lo es todo, pero es algo.)
En general extendido TQFT Z, la asignación de $Z(X x S^1)$ es la "dimensión" de la Z(X), en el siguiente sentido. Escribir el círculo como un arco entrante seguido por un saliente de arco. El entrante de arco es una de morfismos (coevaluation) de la unidad (Z(conjunto vacío)) a la Z(X) tensor de su doble $Z(X^{op})=Z(X)^*$, seguido por un morfismos (evaluación) a la unidad. En particular, nos enteramos de Z(X) TIENE un doble (es dualizable), y estos son los dos canónica de los mapas que vienen en la definición de ser un doble. La composición es un endomorfismo de la unidad Z(vacío), que es muy que generalmente se llama la dimensión de Z(X), o la homología de Hochschild de Z(X).
Si Z(X) es un espacio vectorial, Final Z(vacío) = los números y esto es lo habitual en la dimensión. Si Z(X) es una categoría (o un álgebra, o un 2-categoría, o....), esto es lo que se conoce generalmente como su homología de Hochschild. En particular, la homología de Hochschild es donde los personajes (o trazas) de los objetos en Z(X) en vivo, si se trata de una categoría. En situaciones simples, será la misma como la K-teoría de Z(X) (en gran generalidad hay un mapa de la K-teoría de la homología de Hochschild), si desea comparar esta otra versión de decategorification, que es la toma de K-grupos.
