Encontrar la forma normal de Jordan cuando $(A-\lambda I)$ es singular y nilpotente

Question

Tengo problemas para encontrar los vectores propios generalizados de la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 7 &1 \\ -4 &3 \end{bmatrix} $$ Esta matriz tiene un doble valor propio $\lambda=5$ con un vector propio correspondiente $\vec{v_1}=\left[\matrix{-1\\2}\right]$ . Ahora bien, si intento utilizar la técnica de Jordan, obtengo: $$(A-\lambda I)^2\vec{v_2}=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -4 &-2 \end{bmatrix}^2\vec{v_2}=\vec{0} $$ pero como $$\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -4 &-2 \end{bmatrix}^2=0$$ esto no me lleva muy lejos. Ahora también he probado $$(A-\lambda I)\vec{v_2}=\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -4 &-2 \end{bmatrix}\vec{v_2}=\vec{v_1}$$ Pero, de nuevo, ya que $\begin{bmatrix} 2 &1 \\ -4 &-2 \end{bmatrix}$ es singular, esto tampoco me lleva a ninguna parte.

Ahora bien, ¿cómo procedo para encontrar la forma normal de Jordan de $A$ ?

Answer 1

A medida que se va $(A-\lambda I)^2=0$ la ecuación $$ 0\cdot \vec v_2=0 $$ tiene un montón de soluciones para elegir: puedes coger el vector que quieras. A continuación, para establecer $\vec v_1=(A-\lambda A)\vec v_2$ y ya está.

En su segundo intento: hay una solución, a saber, $$ \vec v_2=\left[\matrix{0\\-1}\right] $$ incluso si la matriz es singular.

Answer 2

Diseccionemos esto por definición: $J$ es la forma normal de Jordan si $A = T^{-1}JT$ . Buscamos una matriz de Jordan que sea similar a $A$ . Algo de la forma
$$\left (\begin{array}{cc}k & 1\\0& l\end{array}\right ) $$ Tenemos $A\neq\lambda E$ , lo que significa que A no está en su JNF. Tenemos un vector propio $v$ que satisface $Av =5v$ .
Por el teorema de Cayley-Hamilton - Polinomio característico de $A$ es también su polinomio aniquilador. Resumiendo, esto significa que $\ker [(A-\lambda E)^2] =F^2$ ( $F$ siendo el campo). Así, podemos determinar un vector $w$ tal que $w\in \ker [(A-\lambda E)^2]$ y $w\notin \ker (A-\lambda E)$ Por lo tanto $v,w$ proporcionar una base para $F^2$ .
Definir $v' := (A-\lambda E)w$ . Puede comprobar que $v', w$ también son base en $F^2$ y ahora viene la magia: Formar la matriz $B := (v'\ w)$ - puedes estar seguro de que es regular, por lo tanto invertible.
$$B^{-1}AB = J$$