Quiero demostrar que f(x) es biyectiva y calcular su inversa. Sea f (x) : R → R definida por f (x) = (3x/5) + 7
Entiendo que una biyección debe ser inyectiva y sobreyectiva pero no entiendo cómo demostrarlo para una función.
Respuesta
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J. W. Perry
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Para demostrar que $f(x)=\frac{3x}{5}+7$ es inyectiva por la definición , tenga en cuenta que $$\frac{3a}{5}+7=\frac{3b}{5}+7 \Rightarrow \frac{3a}{5}=\frac{3b}{5}\Rightarrow 3a=3b\Rightarrow a=b.$$ Por lo tanto, $f(x)$ es inyectiva.
Para encontrar la inversa, opere $x$ y $y$ valores en $y=\frac{3x}{5}+7$ y luego resolver para $y$ : $$x=\frac{3y}{5}+7 \Rightarrow 5x=3y+35 \Rightarrow 3y=5x-35 \Rightarrow y=\frac{5x-35}{3}.$$
Podemos decir formalmente que la función inversa de $f(x)$ es $$f^{-1}(x)=\frac{5x-35}{3}.$$
En cuanto a la sujeción: Para demostrar que la función es surjective queremos demostrar que para cada número real $y$ hay un número real $x$ para que $f(x)=y$ . Un miembro típico del dominio $x$ es $x=\frac{5y-35}{3}$ (nota que no hemos "negociado" el $x,y$ valores aquí de la ecuación original, pero el proceso es el mismo). Como $y$ es un número real, ciertamente $\frac{5y-35}{3}$ es un número real. Ahora veamos que cuando evaluamos $f(x)$ en $x=\frac{5y-35}{3}$ obtenemos
$$f\left(\frac{5y-35}{3}\right)=\frac{3\left(\frac{5y-35}{3}\right)}{5}+7=y.$$ También es un número real. Esto significa que para cualquier número real $y$ siempre podemos encontrar un $x$ para "cubrir" ese número.
Muy específicamente: Eliges cualquier número real $y$ . Declaro que $x=\frac{5y-35}{3}$ es el valor real $x$ que cubra ese número para que $f(x)=y$ y porque mi valor para $x$ está siempre definida para todos los números reales $y$ Estamos a salvo. El $y$ valores, o el "rango", está "todo agotado", a falta de una frase más común.
