Comparación de la medida de Lebesgue y la medida de recuento

Question

Tengo el siguiente problema de Folland:

Dejemos que $X = [0, 1]$ , $\mathcal{M} = \mathcal{B}_{[0, 1]}$ , $m =$ Medida de Lebesgue y $\mu =$ medida de recuento.

1. $m \ll \mu$ pero $dm \neq f \, d\mu$ para cualquier $f$ .
2. $\mu$ no tiene descomposición de Lebesgue con respecto a $m$ .

Creo que puedo estar entendiendo mal la medida de contar, porque me parece que $m \ll \mu$ no es cierto, porque cualquier subconjunto de Borel del intervalo abierto $(0, 1)$ tendría medida de conteo cero porque no contiene ningún entero, pero claramente podría tener medida de Lebesgue positiva.

Answer 1

La medida de recuento hace exactamente lo que dice: cuenta el número de elementos de un conjunto. Así que cualquier conjunto infinito tiene medida de recuento $\infty$ mientras que la medida de cualquier conjunto finito es su cardinalidad. No tiene nada que ver con los enteros en particular.

Se deduce que cualquier medida es absolutamente continua con respecto a la medida de conteo, mientras que muy pocas funciones son integrables.