Dejemos que $|c|<1$ , la prueba de que $n^\frac{2}{5}c^n \rightarrow 0 \: \text{as} \: n \rightarrow \infty$

Question

Dejemos que $|c|<1$ , la prueba de que $n^\frac{2}{5}c^n \rightarrow 0 \: \text{as} \: n \rightarrow \infty$ .

Sé cómo hacerlo utilizando $|c|^n \leq \frac{1}{1+nd} \leq \frac{1}{nd},\: \text{where} \: d>0$ y el lema de comparación. Sin embargo, tengo que hacer un examen final y no puedo simplemente enunciar la desigualdad anterior sin demostrarla. Mi pregunta es: ¿hay una forma más fácil de hacerlo?

Answer 1

$u_n=n^{\frac{2}{5}}c^n \implies \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{\frac{2}{5}}c^{n+1}}{n^{\frac{2}{5}}c^n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{2}{5}}c=c<1$

$$\boxed{\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=0}$$

Answer 2

Sugerencia: considere $n^{\alpha}c^{n}$ . Tenga en cuenta que $\partial_{n}c^{n}=c^{n}\ln c$ y $\partial_{n}n^{\alpha}=\alpha n^{\alpha-1}$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $$n^{2/5}c^n=\left[(n^{1/n})^{2/5}\cdot c\right]^n$$ Si $n\to\infty \implies n^{1/n}\to 1$ entonces

$$n^{2/5}c^n=\left[(n^{1/n})^{2/5}\cdot c\right]^n\equiv c^n$$