Demostrar que un mapa de cobertura es un Homeomorfismo

Question

Me quedé pegado en el siguiente ejercicio:

Que $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ ser un mapa de cobertura con $\widetilde{X}$ conectado y $p^{-1}(x)$ finitos, cada $x\in X$.

Demostrar que si existe un mapa continuo $f:\widetilde{X}\rightarrow\mathbb{R}$ inyectiva en cada fibra $p^{-1}(x)$ (es decir, si $p(x)=p(y)$ y $f(x)=f(y)$ y $x=y$), $p$ es un Homeomorfismo.

Claramente, tenemos que demostrar que solamente que $p$ es inyectiva, puesto que ya es sobreyectiva, continua y abierta.

Answer 1

Definir $g : X \to \widetilde X$ dejando $g(x)$ ser el punto de $p^{-1}(x)$ que $f$ es máxima. Desde $f$ es inyectiva en las fibras y las fibras son finitos, $g(x)$ está bien definido. Es fácil ver que $g$ es continua, y por lo $g$ es una sección de la cubierta mapa de $p$. Desde $\widetilde X$ está conectado, esto implica que $p$ es un homeomorphism (ver esta pregunta , por ejemplo).

Pregunta: Que espacios topológicos $Y$ tienen la propiedad de que $\mathbf R$ muestra en este problema? No tengo idea de cuál es la respuesta a esta pregunta podría ser, pero se ve interesante. Se rompe con la propiedad de que cada subconjunto finito $S\subseteq Y$ tiene un "distinguido punto", que varía de forma continua con $S$. Por ejemplo, no $Y=\mathbf R^2$ tienen esta propiedad?