Límite de confianza de la función ajustada

Question

Estoy tratando con la función de ajuste al conjunto de datos y con la interpretación de dicho ajuste y estoy trabajando con Matlab 2011b.

Supongamos que tenemos una función ajustada en forma $y=f(a_i,x_j)$ donde $a_i$ son parámetros y $x_i$ son variables independientes y los parámetros se describen mediante una matriz de 2 columnas $A=[a_i;\sigma(a_i)]$ manteniendo la información del valor y el intervalo de confianza de cada parámetro.

Me gustaría trazar el "intervalo de confianza" donde debería estar el ajuste (con la confianza del 95%) con el ajuste y el conjunto de datos original.

Ejemplo 1:

El conjunto de datos son puntos uniformemente dispersos alrededor del punto central. El ajuste son las coordenadas del centro y el "intervalo de confianza" es una esfera alrededor de ese punto con diámetro $r=\sigma(x)\equiv\sigma(y)\equiv\sigma(z)$ .

Ejemplo 2:

El conjunto de datos se aproxima mediante la función $y=ax+0$ . El "intervalo de confianza" es el área entre las líneas $y=(a-\sigma(a))x$ y $y=(a+\sigma(a))x$ .

Ejemplo 3:

El conjunto de datos se aproxima mediante la función $y=ax+b$ . El "intervalo de confianza" es el área entre las ramas de la curva en forma de hipérbola

Answer 1

Como parte de curve-fitting toolbox Matlab ya tiene la funcionalidad deseada.

Ejemplo de código:

%% define values to be fitted
X=-1:0.1:1;
Y=exp(X)+0.5*(rand(size(X))-0.5);

%% Fit the line expecting function y=a*exp(b*x)
Ff=fit(X,Y,'exp1');

%% Evaluate the fit
x=(-1.1:0.1:1.1)';
y=feval(Ff,x);

%% get 95% confindece bound of function fit
%% (true function lies within the bound with defined probability).
%% for 95% chance that next observation will lie within the bounds use 'observation' parameter
p=predint(Ff,x,0.95,'functional');

%% Plot the data points (dots), fitted curve (solid)
%% and bounds (dotted black line)
plot(X,Y,'.');
hold on
plot(x,y);
plot([x,x],p,'k:');