Incrustación de variedades abelianas en espacios proyectivos de pequeña dimensión

Question

Dada una variedad abeliana (compleja) $A$ de una dimensión fija $g$ , dejemos que $d(A)$ sea la dimensión del espacio proyectivo complejo más pequeño en el que se incrusta.

Es $d(A)$ uniforme sobre todas las variedades abelianas de un $g$ ? ¿O hay otros especiales que se incrustan en espacios proyectivos aún más pequeños?

Puede $d(A)$ ¿se puede calcular explícitamente? Estoy especialmente interesado en el caso $g = 2$ .

Answer 1

Recordemos que cualquier variedad proyectiva lisa de dimensión $g$ se incrusta en $\mathbf{P}^{2g+1}$ . Consideremos ahora una variedad abeliana $A$ de dimensión $g$ que se incrusta en $\mathbf{P}^{2g}$ . Van de Ven demuestra (esencialmente aplicando la fórmula de auto-intersección al haz normal de $A$ en $\mathbf{P}^{2g}$ ) que el grado de $A$ en $\mathbf{P}^{2g}$ viene dada por ${2g+1\choose g}$ y observa que el teorema de Riemann-Roch implica que el grado tiene que ser divisible por $g!$ . Esto sólo es posible si $g=1$ o $g=2$ . Por supuesto, las curvas elípticas se incrustan en $\mathbf{P}^2$ . No se pueden incrustar superficies abelianas en $\mathbf{P}^3$ y si una superficie abeliana se incrusta en $\mathbf{P}^4$ , entonces su grado es $10$ . Existen superficies abelianas con esta propiedad (superficies Mumford-Horrocks). Todo esto es folclore. Quizá sea menos conocido el hecho de que Comessatti demostró en 1919 (véase este de Lange para una explicación moderna) que para algunas curvas de género $2$ el jacobiano se incrusta en $\mathbf{P}^4$ . Más concretamente: si $C$ es una curva de género $2$ y $J(C)$ contiene una curva $D$ con autointersección $2$ y $C\cdot D=3$ entonces $J(C)$ se incrusta en $\mathbf{P}^4$ (con la incrustación dada por $|C+D|$ ). Pero también deben ser del tipo Mumford-Horrocks (Teorema 5.2 en el papel de Mumford y Horrocks dice que cualquier superficie abeliana en $\mathbf{P}^4$ es proyectivamente equivalente a uno de los suyos).