Cuál es el área del rectángulo de mayor superficie que puede inscribirse en un círculo de radio $r$ ?

Question

Este es un ejemplo de Khan Academy y no puedo entender la explicación de la respuesta.

Daré su explicación y mostraré dónde estoy confundido

Sea un círculo de radio $r$ estar centrado en el origen por lo que su ecuación puede ser modelada por

$$x^2+y^2=r^2$$ $$y^2=r^2-x^2$$ $$y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$$

Un rectángulo inscrito en el círculo con lados paralelos a los ejes tendrá vértices $$A=(x,\sqrt{r^2-x^2}),\ B=(-x,\sqrt{r^2-x^2}),\ C=(x,-\sqrt{r^2-x^2}),\ D=(-x,-\sqrt{r^2-x^2})$$

El área del rectángulo viene dada por $$F(x)=2x\cdot2y$$ donde $$y^2=\sqrt{r^x-x^2}$$ $$F(x)=4x\sqrt{r^2-x^2}$$ para $$x\in\left[0,r\right]$$ ¡sólo!

La siguiente parte me confunde: En lugar de luchar con las reglas de la cadena y del producto, podemos facilitar el trabajo dejando que $$S\left(x\right)=\left(F\left(x\right)\right)^2=16x^2(r^2-x^2)$$ $$S(x)=16r^2x^2-16x^4$$ Entonces $$S^\prime\left(x\right)=32r^2x-64x^3$$ Entiendo cómo hacer el resto pero no puedo entender por qué cuadran $F\left(x\right)$

Answer 1

Porque, como $F$ es no negativo, el punto en el que $F$ alcanza su máximo es el mismo punto en el que $F^2$ alcanza su máximo. Pero es más fácil trabajar con $F^2$ (ya que no tiene raíces cuadradas) que con $F$ .

Answer 2

Como $F(x)$ es ciertamente no negativo, el objetivo "minimizar $F(x)$ " equivale al objetivo "minimizar $F(x)^2$ ", así que esto es ciertamente un válido mover. Por supuesto, sería un movimiento igual de válido cambiar a "maximizar $\arctan F(x)$ " en su lugar, pero por supuesto $F(x)^2$ tiene una gran ventaja sobre $F(x)$ (por no hablar de más de $\arctan F(x)$ ), es decir, una derivada más fácil de tratar.

Answer 3

Es sólo porque $F$ y $S$ tienen el mismo punto máximo y $S$ es más fácil de trabajar.

P.D.: tienen el mismo punto máximo porque $$ x < y \Rightarrow x^{2} < y^{2} $$ siempre que $x,y \geq 0$ . Así que el máximo de $F$ es también el máximo de $S$ .

Answer 4

Porque $$S=xy\leq\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{(2r)^2}{2}.$$ La igualdad se produce para $$xy=\frac{x^2+y^2}{2}$$ o $$(x-y)^2=0$$ o $$x=y,$$ que dice que nuestro rectángulo es un cuadrado.