Estoy practicando algunas pruebas que involucran conjuntos y me gustaría ver si lo que hice fue una prueba válida porque parecía ser diferente de la proporcionada en el libro de texto que estoy usando dado que no usaba una prueba contrapositiva.
Reclamación: Sean A y B conjuntos s.t $ A \cap B = A $ si $ A \subseteq B $
Dejemos que $P(A,B): A \cap B = A$ y $q(A,B): A \subseteq B $
1) Demuestre que $ \neg q(A,B) \implies \neg p(A,B)$
2) Demuestre que $q(A,B) \implies p(A,B)$
Prueba: [1] Supongamos que $A \not\subseteq B$
Así, sin pérdida de generalidad, supongamos que $x \in A$ y $ x \not\in B $
Según $ q(A,B): A\cap B \subseteq A \:\: \mathrm{and}\:\: A \subseteq A \cap B$ porque, $ x \in A \:\: \mathrm{and}\:\: x\not\in B \implies x \in (A-B) \implies x \not\in A \cap B $ y $ x \in A $ . Por lo tanto, $ A \cap B \not\subseteq A$ . Porque, $ x \in A $ y $ x \not\in A\cap B$ entonces $ A \not\subseteq A \cap B $ . Por lo tanto, $ A \cap B \neq A $
[2]: Supongamos que $ A \subseteq B $ .
Dejemos que $ x \in A \implies x \in B $ sin pérdida de generalidad.
Porque $ x \in A $ y $ x \in B $ entonces $ x \in A \cap B $ $ \implies $ Como $ x \in A \cap B $ y $ x \in A $ entonces $ A \cap B \subseteq A $ . Desde, $ x \in A $ y $ x \in A \cap B $ entonces $ A \subseteq A \cap B $ . Así, $ A \cap B = A $ .
$\therefore A \cap B = A $ si $ A \subseteq B $
¿Está justificado lo que hice? Agradecería mucho cualquier comentario o consejo.
Gracias
