Si $\alpha\notin R$ pero $\alpha$ es la raíz de un polinomio en $R[x]$ estudiamos el "polinomio mínimo" sobre $R$ ¿para esa raíz? (¿Seguiríamos queriendo que fuera con coeficiente principal 1? La irreductibilidad, la unicidad y el grado mínimo se mantendrían, supongo)
Por ejemplo, si considera $2/3\notin\Bbb Z$ el único polinomio sobre que se me ocurre es $3x-2$
En general, si $R$ es un anillo conmutativo, $S$ es un $R$ -y el álgebra, y $\alpha\in S$ entonces el análogo del "polinomio mínimo" de $\alpha$ es el núcleo $I$ del homomorfismo de $R$ -algebras $R[x]\to S$ enviando $x$ a $\alpha$ . Cuando $R$ es un campo, $R[x]$ es un PID, por lo que este núcleo $I$ es siempre un ideal principal y "el polinomio mínimo" se refiere a un generador del ideal. Esto tiene un sentido más general cuando $I$ es principal. Así, por ejemplo, cuando $R=\mathbb{Z}$ , $S=\mathbb{Q}$ y $\alpha=2/3$ es razonable decir que $3x-2$ es el polinomio mínimo ya que genera el núcleo del homomorfismo $\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Q}$ enviando $x$ a $2/3$ .
En general, sin embargo, el núcleo puede no ser principal y no hay un solo polinomio que pueda llamarse el polinomio mínimo.
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