Qué ordinal es mayor, $\omega^\omega\omega$ o $\omega\omega^\omega$ ?

Question

Sé que $\omega^\omega\omega$ es $\omega$ copias de $\omega^\omega$ y $\omega\omega^\omega$ es $\omega^\omega$ copias de $\omega$ . Pero, ¿cómo puedo saber cuál es un miembro de la otra?

$\omega^\omega\omega\in\omega\omega^\omega$ o $\omega\omega^\omega\in\omega^\omega\omega$ ? ¿Y por qué?

Answer 1

El ordinal $\omega^\omega\cdot\omega$ es igual a $\omega^{\omega+1}$ .

El ordinal $\omega\cdot\omega^\omega$ es igual a $\omega^\omega$ .

Así que $\omega^\omega\cdot\omega$ es el ordinal mayor mientras que $\omega\cdot\omega^\omega$ es el ordinal menor.

Una forma de entender $\omega.\omega^\omega$ podría ser eso: Después de $\omega$ copias de $\omega$ se colocan el ordinal alcanzado es $\omega^2$ . Después de $\omega ^2$ copias de $\omega$ se colocan el ordinal alcanzado es $\omega^3$ . Después de $\omega ^3$ copias de $\omega$ se colocan el ordinal alcanzado es $\omega^4$ . Después de $\omega ^4$ copias de $\omega$ se colocan el ordinal alcanzado es $\omega^5$ . Y así sucesivamente...

Así que cuando hayamos colocado $\omega^ \omega$ copias de $\omega$ estamos justo en $\omega^ \omega$ . Y no es de extrañar que esto sea supremum (límite superior mínimo) de :

$$\{\,\omega ^2,\omega ^3,\omega ^4,\omega^5,...\}$$

Editar: Nótese que, en parte, la razón por la que puede surgir este tipo de pregunta es que para cualquier ordinal finito $n$ que realmente tenemos: $$\omega\cdot\omega^n=\omega^n\cdot\omega=\omega^{n+1}$$