Prueba de la desigualdad de la norma de la matriz

Question

Me encontré con esta desigualdad

$$\|ABC\|_F \leq \|A\| \|B\|_F \|C\|$$

para todas las matrices $A$ , $B$ y $C$ , donde $\|\cdot\|$ es la norma del operador (valor singular máximo)

No sé cómo probar esto, ni lo tengo accesible. ¿Hay alguna prueba disponible en Internet?

Answer 1

El hecho clave es que $\|A^*A\|\,I-A^*A$ es semidefinido positivo, y entonces también lo es $B^*(\|A^*A\|-A^*A)B=\|A^*A\|B^*B-B^*A^*AB$ .

Entonces, como los valores propios de una matriz semidefinida positiva son todos no negativos, tenemos $$ \|AB\|_F^2=\mbox{Tr}((AB)^*AB)=\mbox{Tr}(B^*A^*AB)\leq\mbox{Tr}(\|A^*A\|B^*B)=\|A^*A\|\,\mbox{Tr}(B^*B)\\ =\|A^*A\|\,\|B\|_F^2=\|A\|^2\,\|B\|_F^2. $$ Ahora, $$ \|ABC\|_F=\|A(BC)\|_F\leq\|A\|\,\|BC\|_F=\|A\|\,\|C^*B^*\|_F\leq\|A\|\,\|C^*\|\,\|B^*\|_F =\|A\|\,\|B\|_F\,\|C\|. $$

$\ \\$

Editar: aquí hay una breve prueba del hecho en la primera línea. Como $A^*A$ es positiva-semidefinida, es diagonalizable, es decir $A^*A=VDV^*$ para una unidad $V$ y la diagonal $D$ . Como $\|A^*A\|=\|D\|$ es evidente que $\|A^*A\|\,I-D$ es semidefinida positiva (es una matriz diagonal con entradas diagonales no negativas). Entonces $$ \|A^*A\|\,I-A^*A=\|A^*A\|\,VV^*-VDV^*=V(\|A^*A\|\,I-D)V^* $$ es positiva-semidefinida.