¿Cómo es que $X^2+1 \in \Bbb{F}_2(T)[X]$ tienen infinitas raíces en el anillo de números duales sobre $\Bbb{F}_2(T)$ ?

Question

Me gustaría entender lo siguiente de Álgebras conmutativas en las que los polinomios tienen infinitas raíces por David E. Dobbs:

El anillo de números duales sobre $\Bbb{F}_2(T)$ proporciona un ejemplo de una dimensión finita conmutativa $\Bbb{F}_2(T)$ -que contiene infinitas raíces de $X^2+1 \in \Bbb{F}_2(T)[X]$

1. ¿Qué es exactamente $\Bbb{F}_2(T)$ ? ¿Es otra notación para $\Bbb{F}_2[T]$ ?

2. ¿Cuál es el anillo de números duales sobre $\Bbb{F}_2(T)$ ? ¿Es así? $\Bbb{F}_2(T)[S]/(S^2)=\{s_1S+s_2 | s_1, s_2 \in \Bbb{F}_2(T) \}$ ? ¿Es así? $\Bbb{F}_2(T)/(T^2)$ ? ¿O es la variable $X$ ya factorizado en lugar de $S$ ?

3. ¿Cómo es que $X^2+1 \in \Bbb{F}_2(T)[x]$ ¿tienen infinitas raíces?

He leído algunos hilos en este sitio, sin embargo, no se refieren a las raíces de los polinomios, y he tratado de construir pequeños ejemplos, pero no han ganado mucho conocimiento.

Answer 1

En general, $F(\alpha)$ es el campo más pequeño que contiene $F$ y $\alpha$ . (Esto tiene sentido cuando $F$ y $\alpha$ existen en algún tipo de campo mayor). Si $\alpha$ es trascendental sobre $F$ entonces cada elemento de $F(\alpha)$ es únicamente expresable como una expresión racional en $\alpha$ (con coeficientes en $F$ ). Si $T$ no se entiende que provenga de un campo mayor, puede significar un "nuevo" trascendental, es decir, una variable formal. Este es el caso de $\mathbb{F}_2(T)$ .

Supongamos que $K$ es un campo y $R=K[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ es el anillo de números duales, un álgebra sobre $K$ . Para encontrar las raíces del polinomio $X^2+1\in R[X]$ , escriba $\alpha=a+b\varepsilon$ , enchufe, ajuste igual a $0$ y resolver. Usted obtiene $a=1$ y ninguna condición sobre $b$ Así que, en particular, si $K$ es infinito (como en el caso de $K=\mathbb{F}_2(T)$ ) hay infinitas raíces.