Dejemos que $K$ sea un campo y $X$ sea irreducible en $\mathbb{A}^{n+1}_K$ . Demuestra que $X$ es biracionalmente isomorfo a $\mathbb{A}^{n}_K$ si y sólo si $X$ contiene un punto sobre $K$ .
En realidad, no puedo demostrar la afirmación inversa: si X es biracionalmente isomorfo a
(Nota: en el enunciado de la pregunta, no se especifica que X es una hipersuperficie cuádrica irreducible).
Es interesante que hayas encontrado lo contrario más difícil. Si dos variedades $X$ y $Y$ son birracionales, entonces hay subconjuntos densos abiertos $U \subset X$ y $V \subset Y$ tal que $U$ y $V$ son realmente isomorfas (véase, por ejemplo, la página 188 de http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf ), cualquier subconjunto denso abierto del espacio afín contiene ciertamente $K$ -puntos racionales.
Das a entender que ya entiendes la otra dirección, pero para completarlo déjame decir que es el truco habitual de elegir un punto racional y proyectarse a lo largo de él.
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