Dejemos que $k[X]$ sea el espacio de polinomios sobre un campo $k$ (considerado como un espacio vectorial sobre $k$ ). ¿Cuál es el espacio dual de este espacio vectorial? Mi opinión es que está generado de alguna manera por las derivaciones $d/dX$ ?
Respuesta
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Es posible identificar $k[X]^*$ con $k[[X]]$ (serie de potencia).
Considere el mapa $\phi:k[X]^* \to k[[X]]$ tal que $\phi(f)=\sum f(x^i)x^i$ . Está claro que $\phi$ es un monomorfismo. También es sobreyectivo porque si $w=\sum a_i x^i\in k[[X]]$ entonces podemos definir $f$ en la base estándar de $k[X]^*$ para que $f(x^i)=a_i$ y ahora $\phi(f)=w$ .
Es más o menos lo mismo que la identificación del dual de las secuencias eventualmente nulas con el espacio de todas las secuencias.
EDIT: El espacio de derivaciones de $k[X]$ es isomorfo a $k[X]$ como espacio vectorial. Un posible isomorfismo viene dado por $p\in k[X] \mapsto d_p :k[X]\to k[X]$ donde $d_p$ es la única derivación tal que $d_p(X)=p$ . Como $k[X]$ no es isomorfo a $k[[X]]$ como espacios vectoriales el dual no puede identificarse con derivaciones.
