Supongamos que $G$ y $H$ son grupos (no isomorfos) y $G\ast H$ el producto libre. Deja que $Aut(G)$ , $Aut(H)$ sean los grupos de automorfismo de $G$ y $H$ . ¿Qué es? $Aut(G\ast H)$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario y plantea un punto importante que espero sea útil.
No basta con pensar en su grupo como un producto gratuito. Para entender su grupo de automorfismo hay que pensar en él como un producto libre en un canónico manera, y para ello se necesita la descomposición de Grushko. Recordemos:
Teorema de descomposición de Grushko: Si $G$ está generada finitamente, entonces
$G=G_1*\ldots* G_n*F_k$
donde cada $G_i$ es libremente indecomponible (es decir, no es $\mathbb{Z}$ y no se divide como un producto libre) y $F_k$ está libre de rango $k$ . Además, el $G_i$ están determinados hasta la conjugación (y reordenación), y $k$ se determina.
Lo más importante que hay que tener en cuenta es que el $F_k$ El factor es no determinado hasta la conjugación, y por lo tanto si $k>0$ entonces hay automorfismos complicados que surgen esencialmente de las diferentes formas posibles de elegir $F_k$ . Sin embargo, el panorama es relativamente sencillo si $k=0$ .
Una referencia moderna sobre los grupos de automorfismo (externos) de productos libres es este bonito documento de Guirardel y Levitt.
entourager
Puntos
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La referencia conocida es Fuchs-Rabinowitz (o Fouxe-Rabinowitz, Mat. Sbornik, 8 (1940), pp 265-276 y 9 (1941) 183-220. Los artículos están en ruso y alemán, véase MR0003413 para una revisión. Una referencia más reciente es McCullough Miller, Symmetric automorphisms of free products. Mem. Amer. Math. Soc. 122 (1996), no. 582, viii+97 pp.(MR1329943 )
