Evaluar $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left\{\frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4}+\frac{3^3}{n^4}+\dots +\frac{n^3}{n^4}\right\}$

Question

1. Evaluar $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left\{\frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4}+\frac{3^3}{n^4}+\dots +\frac{n^3}{n^4}\right\}$ .

2. Examinar si $x^{1/x}$ posee un máximo o un mínimo y determina el mismo.

Answer 1

Esto pide ser visto como una suma de Riemann: $$ \frac 1n\left(\frac{1^3}{n^3}+\cdots+\frac{n^3}{n^3}\right) \to \int_0^1 x^3\,dx. $$

Su segunda pregunta parece bastante diferente de la primera y debería publicarse por separado.

Answer 2

Sucede que existe una forma cerrada atractiva para $1^3+2^3+\cdots+n^3$ que se puede demostrar fácilmente por inducción: $$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$$ Dividir por $n^4$ . Rápidamente encontramos que el límite deseado es $\dfrac{1}{4}$ .

Answer 3

$${\frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4}+\frac{3^3}{n^4}+\dots +\frac{n^3}{n^4}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}i^3}{n^4}=\frac{(n(n+1))^2}{4n^4}=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})^2$$

$$\Rightarrow \displaystyle \lim_{n\to\infty}{\frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4}+\frac{3^3}{n^4}+\dots +\frac{n^3}{n^4}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})^2=1/4$$ (Utilizando el hecho de que $\lim_{n\to\infty}1/n=0)$

Answer 4

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left\{\frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4}+\frac{3^3}{n^4}+\dots +\frac{n^3}{n^4}\right\}$
\= $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left\{\frac{1^3+2^3+3^3+\dots +n^3}{n^4}\right\}$ = $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left\{\left(\frac{n(n+1)}{2n^2}\right)^2\right\}$
\= $\frac{1}{4}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^2} \right)^2$
\= $\frac{1}{4}$

Answer 5

Pistas:

1) Se trata de una suma de Riemann.

2) Diferencia y resuelve para $x$ después de igualar la primera derivada a cero, entonces prueba la segunda derivada para concluir si los valores de $x$ así obtenidas son máximas o mínimas.