Encuentra un ideal no principal (si existe) en $\mathbb Z[x]$ y $\mathbb Q[x,y]$

Question

Sé que $\mathbb Z$ no es un cuerpo, por lo que esto no descarta ideales no principales. Sin embargo, no sé cómo encontrarlos además de adivinando, lo cual podría llevar mucho tiempo. En cuanto a $\mathbb Q[x,y]$, sé que $\mathbb Q$ es un cuerpo, lo que significa que $\mathbb Q[x]$ es un dominio de ideales principales, ¿pero esto aún se aplica para $\mathbb Q[x,y]$?

Answer 1

Indicios:

• Considera los polinomios $a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in\mathbb{Z}[x]$ donde $a_0$ es par.

• Para $\mathbb{Q}[x,y]$: tienes dos indeterminadas.

Answer 2

Aquí tienes un resultado general:

Si $D$ es un dominio, entonces $D[X]$ es un DIP si y solo si $D$ es un cuerpo.

Una dirección es un resultado clásico. Para la otra dirección, toma $a\in D$, considera el ideal $(a,X)$, y demuestra que es principal si y solo si $a$ es una unidad.

Esto responde inmediatamente ambas preguntas: $(2,X)$ no es principal en $\mathbb Z[X]$ y $(X,Y)$ no es principal en $\mathbb Q[X,Y]=\mathbb Q[X][Y].