$A \in {M_n}$ es normal.Por qué el rango de $A$ y ${A^*}$ ¿son los mismos?.

Question

Dejemos que $A\in {M_n}$ ser normal. ¿Por qué el rango de $A$ y ${A^*}$ son los mismos?

Answer 1

Consideremos la descomposición estándar $$ \mathbb{C}^n=C(A^*)\oplus N(A) $$ donde $C(B)$ y $N(B)$ (donde $B$ es cualquier matriz) denotan respectivamente el espacio de columnas (o rango) y el espacio nulo (o núcleo).

Dejemos que $v\in \mathbb{C}^n$ . Entonces podemos escribir de forma única $v=x+z$ con $x\in C(A^*)$ y $z\in N(A)$ . Así, $x=A^*y$ para algunos $y$ Así que $$ Av=A(x+z)=Ax+Az=Ax=AA^*y=A^*Ay\in C(A^*) $$ Esto significa que $C(A)\subseteq C(A^*)$ .

La inversa se deduce por simetría utilizando $\mathbb{C}^n=C(A)\oplus N(A^*)$ .