El gradiente en el límite de una superficie

Question

Que la superficie en cuestión sea el anillo $S := S^1 \times [0,1]$ Sólo a modo de ejemplo. Dejemos que $f:S \longrightarrow \mathbb R$ ser un $C^\infty$ función.

Pregunta:

¿Hay alguna manera de adaptar y definir la derivada en un punto de la frontera de S?

(Mi objetivo con esto es adaptar, de alguna manera, el teorema de la función de implicidad en una vecindad de un punto límite).

Answer 1

Es útil considerar el medio espacio $X=[0,\infty)\times \mathbb{R}^{d-1}$ que es el modelo local para un $d$ -de la Tierra con límite. En ese caso se define típicamente una función $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ sea suave, si existe una función suave $\tilde f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ con $\tilde f\vert_X=f.$ Se puede entonces definir $\nabla f(x) = \nabla \tilde f(x)$ y se puede comprobar que para $x\in \partial X$ esto es independiente de la elección de la extensión $\tilde f$ .

Requiere $f$ para tener una extensión suave a través de $\partial X$ puede sentirse un poco como una trampa. Pero esto equivale, de hecho, a $f$ siendo suave en $(0,\infty)\times \mathbb{R}^{d-1}$ (que es un conjunto abierto) y todas las derivadas de $f$ que tiene límites continuos a medida que uno se acerca $\partial X$ . Véase, por ejemplo aquí .