Probablemente haya una terminología para esto, y me disculpo por no conocerla, y parte de mi pregunta es cuál es la terminología estándar para los conceptos que estoy dando. Esta es una pregunta bastante abierta.
Dejemos que $C$ sea alguna clase de variables aleatorias, en el mismo o en diferentes espacios de probabilidad, que toman valores en algún espacio topológico $V$ (el caso que más me interesa es $R^\omega$ ).
Dejemos que $D_C$ sea el conjunto de distribuciones de las variables en $C$ es decir, clases de equivalencia bajo isomorfismo de probabilidad ( $X:\Omega\to V$ y $Y:\Upsilon\to V$ son equivalentes si existe un isomorfismo de probabilidad $\alpha:\Omega\to\Upsilon$ tal que $X = Y\circ \alpha$ ).
Digamos que $C$ es "recuperable en un solo punto" siempre que exista una función $f:V\to D_C$ tal que para cada $X\in C$ , $f(X)=[X]$ con probabilidad uno. Es decir, para todo $X\in C$ , si $X:\Omega\to V$ entonces $f(X(\omega)) = [X]$ para casi todos los $\omega\in\Omega$ .
Pregunta 1: ¿Existe un término estándar para "recuperable en un solo punto"?
Hecho: Si $V=\mathbb R^\infty$ (con topología de producto y un Borel $\sigma$ -) y $C_n$ es la clase de todas las variables aleatorias vectoriales $X$ de la forma $X=(X_i)_{i\in \mathbb N}$ donde el $X_i$ son i.i.d. y tienen valores en $R^n$ entonces $C_n$ es recuperable en un solo punto. (Esquema de la prueba: Los rectángulos son una clase Vapnis-Chervonenkis, y podemos recuperar a.s. la distribución de $X_1$ y, por tanto, de $X$ a través de un LLN fuerte uniforme utilizando las frecuencias de las visitas de $X_i(\omega)$ a los rectángulos).
Pregunta 2: ¿Existe un nombre estándar para el Hecho? ¿Una prueba elemental? (Puede que me esté perdiendo algo completamente obvio).
(El hecho es una especie de reivindicación parcial del frecuentismo: Muestra que si sabemos que una secuencia infinita de observaciones fue generada por una secuencia i.i.d., a.s. podemos recuperar la distribución a partir de las observaciones).
Pregunta 3: ¿Hay alguna generalización interesante del Hecho? Por ejemplo, si $E$ es la clase de todas las secuencias de $\mathbb R^n$ -de valor i.r.v., entonces $E$ no es recuperable en un solo punto. Pero hay algún resultado como este: Hay una función $f:\mathbb R^\infty \to D_C$ tal que para todo $X\in E$ para casi todos los $\omega$ , $f(X(\omega))$ está "asintóticamente cerca" de $[X]$ ¿en algún sentido preciso? (O al menos para alguna subclase de $E$ .) ¿Hay algún resultado que debilite la independencia?
