¿Es correcta esta prueba - prueba simple sobre la distancia en el espacio lineal normado

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado, y sea $M$ sea un subconjunto cerrado de $X$ . Demuestre que cualquier $x\in X\setminus M$ tiene una distancia no nula con respecto a M.

Mi prueba:

Supongamos que existe un $x\in X$ tal que $\mathop{\mathrm{dist}}(x,M) = 0$ entonces $\inf_{y\in M} \|x-y\|=0$ .

Por la no-degeneración de la norma, $x-y=0$ y así $x=y$ .

Desde $x\in X\setminus M$ y $y\in M$ entonces $x=y\in M \cap X \setminus M = \emptyset$ .

Contradicción.

La solución que se da es totalmente diferente, por lo que me pregunto si la mía es correcta (y presumo que no lo es).

Answer 1

¿Qué es? $y$ en la prueba? Obsérvese que, a priori, "el ínfimo de $S$ es igual a $0$ " no significa que el infimo pertenezca a este conjunto.

Pero utilizando la definición del infimo, para cada $n$ , hay $y_n\in F$ tal que $\lVert x-y_n\rVert\leqslant n^{-1}$ . Esto demuestra que $x\in \overline F$ y concluimos por la cerrazón de $F$ .