¿teoría espectral ampliable a polinomios arbitrarios?

Question

Dado un espacio de Banach $X$ y operadores cerrados $A_i$ ( $i \in \left\{0,...,n\right\}$ ) que tienen un dominio común $D$ que es denso en $X$ . Un candidato obvio para el título de "resolvente generalizado de $A_i$ " sería \begin {Edición} R(A_i,z)= \left ( \sum_ {i=0}^{n} A_i z^i \right )^{-1} \end {ecuación} si existe. ¿Qué partes principales del formalismo resolutorio pueden generalizarse a este escenario?

• ¿Hay alguna bonita "identidad de resolvente generalizada"? ¿Es el "conjunto resolvente generalizado" (valores de $z$ para el que existe el resolvente, está acotado y tiene dominio denso) sigue abierto?

• ¿Existen secuencias de Weyl generalizadas a los puntos límite del conjunto resolvente generalizado?

• Supongamos que $X$ es un espacio de Hilbert. ¿Existe alguna relación entre el "espectro generalizado" y el conjunto \begin {ecuación} Q= \left\ {z^{*} \in \mathbb {C} \left | \right. \exists \psi \in X: z^{*} \text {es una raíz de} \sum_ {i=0}^{n} \langle\psi A_i \psi\rangle z^i \right\ } \end {ecuación} ?

Le invitamos a responder con una buena referencia bibliográfica si estas preguntas (¿normales?) ya se están tratando allí.

También hay que tener en cuenta la generalización de estas cuestiones a los polinomios multivariantes.

Answer 1

¿Y la siguiente generalización (funciona, pero es útil?)? Tratemos con polinomios de la forma $P(A,B,z)=A-Bz$ primero y demos una definición modificada al "conjunto resolvente generalizado" $\rho(A,B)$ : \begin {Ecuación} \left\ {z \in \mathbb {C} \left | \right. \left (A-zB \right )^{-1} \text {,}B \left (A-zB \right )^{-1} \text {existen en un dominio denso (común) y ambos están acotados} \right\ } \end {Ecuación}

• identidad modificada del primer resolvente: $\forall z_1,z_2 \in \rho(A,B)$ \begin {Ecuación} \left (A-z_2B \right )^{-1}- \left (A-z_1B \right )^{-1}=(z_2-z_1) \left (A-z_2B \right )^{-1}B \left (A-z_1B \right )^{-1}=(z_2-z_1) \left (A-z_1B \right )^{-1}B \left (A-z_2B \right )^{-1}, \end {ecuación} cuya demostración (fácil) se deja como ejercicio.

• Corolario: identidad resolvente adicional, $\forall z_1,z_2 \in \rho(A,B)$ : \begin {Ecuación} B \left (A-z_2B \right )^{-1}-B \left (A-z_1B \right )^{-1}=(z_2-z_1)B \left (A-z_2B \right )^{-1}B \left (A-z_1B \right )^{-1}=(z_2-z_1)B \left (A-z_1B \right )^{-1}B \left (A-z_2B \right )^{-1}, \end {Ecuación}

• Corolario: $\rho(A,B)$ está abierto. Prueba:

Podemos utilizar ambas identidades resolventes repetidamente para obtener $\forall n\in \mathbb{N}$ : \begin {Ecuación} \left (A-z_2B \right )^{-1} = \left (A-z_1B \right )^{-1} \sum_ {j=0}^n (z_2-z_1)^j \left [B \left (A-z_1B \right )^{-1} \right ]^j + (z_2-z_1)^{n+1} \left (A-z_1B \right )^{-1} \left [B \left (A-z_1B \right )^{-1} \right ]^{n+1} \end {Ecuación} \begin {Ecuación} B \left (A-z_2B \right )^{-1} = B \left (A-z_1B \right )^{-1} \sum_ {j=0}^n (z_2-z_1)^j \left [B \left (A-z_1B \right )^{-1} \right ]^j + (z_2-z_1)^{n+1} \left [B \left (A-z_1B \right )^{-1} \right ]^{n+2}. \end {ecuación} Si $\left|z_2-z_1\right|<R_{z_1}:=\min(\left\|\left(A-z_1B\right)^{-1}\right\|^{-1},\left\|B\left(A-z_1B\right)^{-1}\right\|^{-1})$ Estas expansiones se pueden continuar hasta una serie de potencias convergentes. A la inversa, se puede comprobar manualmente que esta serie de potencias debe converger a $\left(A-z_2B\right)^{-1}$ y $B\left(A-z_2B\right)^{-1}$ respectivamente, si converge. Por lo tanto, deducimos que si $z_1 \in S(A,B)$ entonces $D(z_1,R_{z_1}) \subset S(A,B)$ . También tenemos \begin R_{z_1} \leq dist(z_1, \sigma (A,B)) \text { } ( \dagger ) \end {ecuación} donde $\sigma(A,B)=\rho(A,B)^c$

• Propongamos la siguiente definición modificada de una secuencia de Weyl: $forall z \in \mathbb{C}$ tenemos que $(\psi_n)_n$ es una secuencia de Weyl i.f.f. \begin {Ecuación} (A-Bz) \psi_n \rightarrow 0 \end {ecuación} mientras que $\forall n$ \begin {Ecuación} max( \left\ | \psi_n\right\ | , \left\ |B \psi_n\right\ | )=1 \end {Ecuación}

• Dejemos que $z \in \mathbb{C}$ sea un punto límite de $\rho(A,B)$ . Existe una secuencia de Weyl $(\psi_n)_n$ asociado a $z$ . Prueba: Sea $(z_n)_n$ sea una secuencia en $\rho(A,B)$ tal que $z_n \rightarrow z$ . Por $(\dagger)$ podemos encontrar una secuencia $(\phi_n)_n$ tal que \begin {Ecuación} \max \left ( \frac { \left\ |(A-Bz_n)^{-1} \phi_n\right\ |}{ \left\ | \phi_n\right\ |}, \frac { \left\ |B(A-Bz_n)^{-1} \phi_n\right\ |}{ \left\ | \phi_n\right\ |} \right ) \rightarrow \infty \end {equation} Definir $\psi_n := (A-Bz_n)^{-1}\phi_n$ y renormalizar de forma que $max( \left\|\psi_n\right\| , \left\|B\psi_n\right\| )=1$ (lo que significa que $\left\|\phi_n\right\| \rightarrow 0$ . Ahora calcula \begin {eqnarray} \left\ |(A-Bz) \psi_n\right\ | &=& \left\ | \phi_n + (z-z_n)B \psi_n\right\ | \\ &=& \left\ | \phi_n\right\ | + |z-z_n| \left\ |B \psi_n\right\ | \rightarrow 0. \end {eqnarray}

El siguiente paso es generalizar a los polinomios multivariantes de la forma $P(A_0,...,A_n,z_1,...,z_n)=A_0 -z_1 A_1-...-z_n A_n$ donde también es fácil adivinar cómo deben generalizarse las definiciones de espectro generalizado y de secuencias de Weyl. Todos los resultados anteriores tienen una generalización adecuada.